1、第二章 数字图象的线性处理,第二章 数字图象的线性处理,2.1 离散卷积与离散相关,返回,定义,2.1.1 二维离散卷积,定义二维离散卷积：,设两个二维离散函数：,式中， 与 分别是 、 的周期化函数。,上页,2.1.1 二维离散卷积,上页,即：,和 的周期为：,定义所给出的 阶函数阵列，是二维离散卷积的一个周期。,2.1.1 二维离散卷积,例题 求两个22 阶二维离散函数的卷积：,(2) 求 F和G 的列矢量（按行扫描-堆叠方式）：,上页,(1) F和G周期化： 周期 M = N =A+B-1=3,2.1.1 二维离散卷积,(3) 按一维离散卷积方法计算卷积：,上页,2.1.1 二维离散卷积
2、,(4) 卷积结果(矩阵形式)：,Te为 阶方阵；,有 个分块子阵每个子阵为 阶；,上页,共有 M 组相同的子阵。,其中卷积矩阵：,2.1.1 二维离散卷积,其中，分块子阵：,1,0,2,2,1,0,0,1,2,对卷积矩阵的进一步讨论,上页,2.1.1 二维离散卷积,小结：Te 为分块循环矩阵，其中各列（行）是分块子阵的循环移位； 各分块子阵是由 g e子矢量诸元素构成的循环矩阵。,上页,本例：,其中各子矢量为：,2.1.1 二维离散卷积,返回,(2) 垂直/水平折叠,(1) 将F和G表示成“掩模”形式,2.1.1 二维离散卷积,上页, ,(3) 水平/垂直平移折叠后的掩模，求乘积和,2.1.
3、2 离散卷积定理,上页,二维 若二维离散函数的傅里叶变换对为,则有,则有,一维 若离散函数 、 的傅里叶变换分别为 、 ，即,2.1.3 二维离散相关,上页,定义二维离散相关：,以及,定义 对两个二维离散实函数：,2.1.3 二维离散相关,上页,则,二维相关定理,若,自相关函数：,自相关函数及其性质,2.1.3 二维离散相关,上页,当 时，,自相关函数的傅氏变换：,2.2 二维离散傅里叶变换,2.2.1 定义与讨论,2.2.2 矩阵矢量表示,2.2.3 傅里叶变换是酉变换,下页,2.2.4 常用性质,2.2.1 定义与讨论,设二维数据阵列 f (x,y)为 NN 方阵, 定义2D-DFT：,反
4、变换：,F(u, v)也是 NN 方阵。,正变换：,2D-DFT定义,上页,2.2.1 定义与讨论,上页, , ,变换对：,讨论,2.2.1 定义与讨论,上页,记,其中，正变换核：,变换核：,可分离性：,令,，则DFT的变换核为,；反变换核：,其中：,2.2.1 定义与讨论,改写正变换公式：,返回目录,2.2.2 矢量-矩阵表示,则 DFT的矢量形式为：,DFT的矢量表示,上页,举例 设空域矩阵F与频域矩阵Q分别为：,2.2.2 矢量-矩阵表示,相应的列矢量为：,对变换矩阵A的讨论 （举例 推广），,上页,问题：A=? 为此，可根据定义式分别求相应的变换系数。,由DFT变换式,2.2.2 矢量
5、-矩阵表示,由正变换定义式可得：,式中：,上页,2.2.2 矢量-矩阵表示,上页,将以上方程组写成矩阵形式：,进一步改写变换矩阵：,2.2.2 矢量-矩阵表示,上页,令 ，,推广 一般地，变换矩阵A的行、列分量为,显然存在关系：,直积：,则A可表为AC与AR的,2.2.2 矢量-矩阵表示,正变换：,反变换：,等式两边左乘 ，右乘,DFT的矩阵表示,2 2阶DFT的矩阵形式可表示为：,得到：,返回目录,2.2.3 傅里叶变换是酉变换,上页,酉变换是普遍意义上的线性正交变换，而且是可逆的。,何谓酉变换？,对于DFT，若能证明变换矩阵A满足,则A是酉矩阵，进而DFT是酉变换。,2.2.3 傅里叶变换
6、是酉变换,上页,其逆矩阵为,已知DFT变换矩阵A的行、列分量为,比较显见：,2.2.3 傅里叶变换是酉变换,由于 ,所以,即DFT正变换矩阵A是酉矩阵。,结论 傅里叶变换是酉变换（正交变换）。,因而逆变换矩阵B也是酉矩阵。,根据 有,故逆变换核同样是可分离的。,且因,进一步,返回目录,2.2.4 傅里叶变换的常用性质,上页,可得,因此，F (u,v)和 f (x, y)均具有周期性，周期为NN。,根据DFT定义和复指数函数的周期性：,同理，反变换,周期性,2.2.4 傅里叶变换的常用性质,上页,结论,2.2.4 傅里叶变换的常用性质,上页,由周期性：,作变量代换 u u， v v，并取共轭：,可得：,等式左边：,等式右边（观察指数部分）:,共轭对称性,2.2.4 傅里叶变换的常用性质,上页,令 m , n = 1，进一步有,m , n = 0，,解释共轭对称性 假设 f (x, y) 为正、实函数,(1) F (u, v) 实部,2.2.4 傅里叶变换的常用性质,(2) F (u, v) 虚部,返回目录,矩阵直积,返回,矩阵的直积运算，又称为“克罗内克”积，符号为，规则如下：,若,则,
