1、第三节条件概率与全概率公式,例1、一个家庭中已有两个小孩，其中一个是女孩，问这时另一个也是女孩的概率有多大？ 解：=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)；令，A=两个都是女孩=(女,女)； B=有一个是女孩=(男,女),(女,男),(女,女);计算B发生下A的概率可以取B为样本空间(缩减样本空间)，此时，A只含一个样本点。,显然，P(A|B) P(A)=1/4. 此外,在样本空间中易计算得: P(B)=3/4, P(AB)=1/4,且有,所以，,由此，一般可定义条件概率。,一、条件概率与乘法定理,设事件B的概率P(B)0，记 称P(A|B)为在事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率
2、。 任意事件A和B，若P(A)0，P(B)0，则有这个称为乘法公式。,不难看出，计算条件概率P(A|B)有两种方法： 在原样本空间中分别求出P(B),P(AB),再按定义公式计算； 在缩减样本空间B中按一般概率P(A)计算。,例2、一批零件共100个，次品率为10，从中抽取两次，每次取一个。第一次取出的不放回，求第二次才取得正品的概率？ 解：A:第一次取得次品；B:第二次取得正品 所以，,乘法公式可以推广到多个事件 P(ABC)=P(AB)C)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 涉及事件A与B同时发生的概率用P(AB);有包含关系或主从条件关系的用条件概率P(A|B
3、).,例3、某种动物由出生活到10岁的概率为0.7，活到20岁的概率为0.3，问现年满10岁的这种动物活到20岁的概率是多少？ 解：A:活到10岁以上；B:活到20岁以上显然A 包含B ，属于条件概率，且P(AB)=P(B) 所以，,例4、某厂的产品中有5%的次品，在100件正品中有70件是一等品。试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率。 解：A:任取一件产品是正品；B:任取一件产品是一等品。显然，A包含B； 所以，,二、全概率公式与Bayes公式,定理1 (全概率公式)：设事件B1,B2,Bn是样本空间的一组划分, P(Bi)0(i=1,2,n),且A ,则对任意事件A有：,证明：因为A可
4、互斥分解为所以由加法公式与乘法公式得：,定理2 (Bayes公式)：设事件B1,B2,Bn是一个完备事件组, P(Bi)0 (i=1,2,n), A为一子事件，且P(A|Bi)0，则,由条件概率、乘法公式与全概率公式推出,有诸多原因可以引发某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件的和，这样的概率问题属于全概率类型。 当一随机事件A发生后，往往需要推断引起A发生的原因，这时就需要应用Bayes公式来计算在A发生的情况下Bi发生的概率，推断引起A发生的主要原因。,例5、某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%, 20%,30%和35%;四条流水线的不合格率分别为
5、0.05,0.04,0.03及0.02。现从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率是多少？ 解：A=“任取一件，恰好为不合格品” Bi=“任取一件，恰好是第i条流水线产品” 所以，,例6、根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，C表示“被诊断者患有癌症”，已知P(A|C)=0.95,P( )=0.96.现对自然人群进行普查，设被试验的人患癌症的概率为0.004，即P(C)=0.004.求P(A)和P(C|A)？,P(C)是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率； 而在得到的信息(检验结果呈阳性)而重新加以修正的概率P(C|A)叫做后验概率。,B
6、ayes决策：为了判断一根木材是桦木还是桉木，通常采用先抽取它的一个特征(如平均亮度X)，然后再根据这个特征作出判断，这时常用Bayes决策。 以A1，A2分别表示被检验的木材为桦木或桉木这一事件，已知它们的先验概率P(A1)和P(A2)，试验确定出P(X| A1)和P(X| A2)。 若P(A1|X) P(A2|X)，则作出决策：具有X特征的木材是桦木，否则是桉木。,在应用公式时，有两个问题要弄清楚： 1、如何确定完备事件组？ 一般，可从下列两个方面来寻找完备事件组：当事件的发生与相继两个试验有关时，从第一试验入手寻找完备事件组；当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引起的，可以这些“原因”为
7、完备事件组。 2、如何区分是用全概率公式or贝叶斯公式？ “由因求果”用全概率公式,“执果求因”用Bayes公式.,本节要点提示,四个公式:条件概率公式,乘法公式,全概率公式,Bayes公式。 会计算条件概率原样本空间与缩减样本空间。 会正确应用乘法公式、全概率公式与Bayes公式。 能区分积事件与条件事件，会利用完备事件组“化整为零”地计算概率。,第四节事件的独立性,一、事件的独立性,对于给定的事件A,B, P(A)0,P(B)0,定义1：对于事件A,B，若则称A与B相互独立，简称独立。 由条件概率可得：,A,B相互独立,例1、甲乙两人对同一目标射击，甲击中目标的概率是0.9，乙击中的概率是
8、0.8，甲乙两人各射击一次，求击中的概率。 解：A=“甲击中”,B=“乙击中”,C=“目标被击中” 则：C=AB,且A与B独立。 所以，,定义2：设A1,A2,An为n个事件，如果对于其中任意m个事件Ai1,Ai2,Aim (1m n)，有则称事件A1,A2,An相互独立。 必须同时满足上式中的 个等式。,例如，三个事件相互独立指以下四个等式同时成立,两两独立与相互独立的区别 两两独立：任意两个事件相互独立 相互独立：所以事件均相互独立 相互独立比两两独立要求高得多 两两独立未必相互独立相互独立一定两两独立,例2、袋中有红、白、黑三个单色球和一个三色混合球，现从袋中任取一球，记A,B,C分别表
9、示取出的球上有红、白、黑三色。问A,B,C是否相互独立。 解： 显然，A,B,C两两独立，但不相互独立。,定理1：如果四对事件 之中有一对相互独立，则另外三对也相互独立。 证明：因为A,B相互独立,所以,即 相互独立.,从而，,定理2：(1)若事件A1,A2,An相互独立，则其中任意m (1m n)个事件也相互独立。(2)若事件A1,A2,An相互独立，则将其中任意m (1m n)个事件换成对立事件仍相互独立。 (1)是定义2的直接推论；(2)是定理1的直接推论。,例3、一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性。有元件组成的系统能正常工作的概率叫做系统的可靠性。令构成系统的每个元件的可靠性
10、均为r(01)个元件按照下面图示的连接方式构成两个系统，试求它们的可靠性，并比较两个系统可靠性的大小。,分析：令Ai,Bi表示相应元件能正常工作；Ci表示第i个系统能正常工作；对于系统I，分别用A,B表示两条通路正常工作;对于系统II，分别用Di表示每对并联元件正常工作。,二、伯努利概型,定义3：设试验E只有两个可能结果 ，将E独立地重复进行n次，则称这一列重复的独立试验为n重伯努力(Bernouli)试验或n重伯努利概型。 n重伯努力试验的结果有 个。 例如，一枚硬币连抛三次观察正反面的试验就是一 个三重贝努里试验,定理3：在n重伯努利概型中，设P(A)=p(p0),1-p=q,则n重伯努利
11、试验结果中A恰好发生m次的概率为 n次试验的任意m次发生；某m次中发生而其余n-m次不发生的概率； 将概率Pn(m)叫做二项分布,例4、某人有一串N把外形完全相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，有一天该人酒醉后回家，下意识地每次从N把钥匙中随便拿一把去开门，问该人在第k次才能把门打开的概率有多大？能打开门的概率有多大？ 分析：伯努利概型； 每次选对钥匙的概率是1/N,选错钥匙的概率是1-1/N； 第k次才能把门打开=前k-1次选错，第k次选对； 能打开门=在第一次打开在第二次打开在第k次打开,例5、某计算机有8个终端，各终端的使用情况是相互独立的，且每个终端的使用率为40%，试求概率：A1=“
12、恰有三个终端被使用”；A2=“至少有一个终端被使用”。 分析：伯努利概型； p=0.4, q=0.6; P(A1)=P8(3)； P(A2)=1-P8(0).,例6、某种电子管使用寿命在2000小时以上的概率为0.2，求5个这样的电子管在使用了2000小时之后至多只有一个坏掉(事件A)的概率。 分析：伯努利概型； p=0.2, q=0.8; P(A)=P5(4)+ P5(5)；,本节要点提示,事件相互独立的定义； 计算积事件概率时，想到有无独立性：有则概率乘积，无则乘法公式； 计算和事件概率时，想到有无互斥性：有则概率之和；无则加法公式。 了解伯努利概型和二项分布,第五节应用实例,赠送问题,n个人每人携带一件礼品参加联欢会，联欢会开始后，先把所有礼品编号为1,2,n，然后每人各抽1个号码，按号码领取礼品，求所有参加联欢会的人都得到别人赠送的礼品的概率。 分析：设Ai=“第i个人得到自己的礼物”；,Ai是否相互独立？,
