1、4.2 常系数线性方程的解法,一、复值函数与复值解,1 复值函数,复函数的求导法则与实函数求导法则相同,2 复指数函数,欧拉公式:,性质:,定义,3 复值解,(1)定义,(2)定理8,(3)定理9,若方程,和,的解.,二、常系数齐线性方程和欧拉方程,1 常系数齐线性方程的求解方法(Euler待定系数法),考虑方程,称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.,显然,一阶常系数齐线性方程,有解,对(4.19)尝试求指数函数形式的解,把它代入方程(4.19)得,的根,方程(4.21)称为方程(4.19)的特征方程,它的根为方程(4.19)的特征根.,(1) 特征根是单根的情形,由于,故解组(4.22)线
2、性无关.,因方程的系数为实常数,复根将成对共轭出现,相应方程(4.19)有两个复值解,(2) 特征根是重根的情形,而对应方程(4.19)变为,于是方程(4.19)化为,方程(4.23)相应特征方程为,直接计算易得,因此,这样就把问题转化为前面讨论过的情形(a).,下面我们证明(4.25)和(4.26)构成方程(4.19)的基本解组,为此只须证明这些函数线性无关即可,对特征方程有复根的情况:,如同单根时那样,也可以,(3) 求方程(4.19)通解的步骤,第一步:,第二步:,计算方程(4.19)相应的解,第三步:,例1,例2,例3,例4,2 欧拉(Euler)方程,形如,的方程,称为欧拉方程.,(
3、1) 引进变换,由归纳法原理可知,将上述关系式代入(4.29),得常系数齐线性方程.,因而可以用上述方法求出(4.30)的通解,再代回原来的变量就可得到方程(4.29)的通解.,例5,解,作变换,把上式代入原方程得,故原方程的通解为:,则,上述方程的通解为:,注：从上述推演过程知(4.30),因此可直接求欧拉方程的,则(4.31)正好是(4.30)的特征方程,例6,解,上面代数方程的根为,故方程的通解为:,例7,解,上面代数方程的根为,故方程的通解为:,三、常系数非齐线性方程的解法,(一)比较系数法,1 类型I:,因此方程有形如(4.33)的解.,即,也即,这时相应地方程(4.32)将为,对上
4、面方程,因而方程(4.36)有形如,特解,特解,例8,2 类型II:,例9,解,对应齐次方程特征根为,故该方程的特解形式为,从而,于是,因此原方程的通解为,解,对应齐次方程特征方程为,故该方程有形状为,比较系数得,因此原方程的通解为,例10,有三重特征根,3 类型III:,根据非齐次方程的叠加原理可知,方程,欧拉公式:,与,因此,直接应用类型II的结果可知,方程有如下形式的特解,解,对应齐次方程的特征方程为,故该方程有形状为,故原方程的通解为,例11,有二个根,注: 类型III的特殊情形,可用更简便的方法-,复数法求解,例12,解,对应齐次方程的特征方程为,特征根,为了求非齐线性方程的一个特解
5、,先求方程,的特解,属类型II,定理9(P136),若方程,和,的解.,方程有形状为,故原方程的通解为,从而,分出它的实部,故,代入方程得,（二） 拉普拉斯变换法 由积分,定义的复平面(Re s )上的复变数s的函数F(s)称 为函数 f (t)的拉普拉斯变换, 其中f (t)对t 0有定义, 且满足不等式,这里M, 为两个正常数. 我们称 f (t)为原函数, 而 F(s)称为像函数.,由像函数求原函数称为拉普拉斯反演. 可由如下积分表示,在已知像函数的情况下, 一般采用查表的方法求 原函数.,给定微分方程,及初始条件,其中a1, a2, , an是常数, 而 f (t)连续且满足原函数 的
6、条件. 由于常系数微分方程的任何解及其各阶导数 都满足原函数的条件, 设x(t)为(4.32)的解, 记,则由拉普拉斯变换的定义易知,对方程(4.32)两端实施拉普拉斯变换可得,即,这就是满足初值条件的解x(t)的像函数, 然后直接 查拉普拉斯变换表或者用反变换公式计算得到,或,从而解为:,-拉普拉斯变换的反变换,例15,解,对上式两端作拉普拉斯变换,得,因此,查拉普拉斯变换表得,从而,这就是所求的解.,例16,解,对方程两端作拉普拉斯变换,得,因此,查拉普拉斯变换表得,这就是所求的解.,质点振动,设有一弹簧，上端固定，下端挂一质量m的,物体,当物体处于静态的时候，重力与弹力大小,相等,方向相
7、反，这个位置就是平衡位置.,高阶微分方程的应用,当物体处于平衡位置时，受到向下的重力mg,弹簧向上的弹力,，其中,是弹簧的弹性系数，,是弹簧受重力作用后向下拉伸的长度，即有,m,x,mg,R=,当物体开始运动时，受到以下四个力的作用：,为研究物体的运动规律，选取平衡位置为,（3）,1、 无阻尼自由运动无空气阻力和外力作用,方程（1）变为,这里 为常数，为了使物理意义明确,令：,2、 有阻尼的自由振动有空气阻力而无外力作用,对情形（3），类似于无阻尼自由振动，可把,趋于平衡位置,，如下图所示：,可求得方程（3.5.6）的一个特解为,3 有阻尼的强迫振动既有空气阻力又有外力,方程为,（6）,通解为,（7）,
