1、（物理）物理万有引力定律的应用易错剖析含解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1 一名宇航员到达半径为 R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为 m 的小球，上端固定在 O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕 O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间 t 的变化规律如图乙所示 F1 、F2 已知，引力常量为G，忽略各种阻力求：（ 1）星球表面的重力加速度；（ 2）卫星绕该星的第一宇宙速度；（ 3）星球的密度F1F2（ 2）( F1 F2 ) RF1 F2【答案】 （1） g6m(3)6m8 GmR【解析】【分析】【详解】（1）由图知
2、：小球做圆周运动在最高点拉力为 F2，在最低点拉力为 F1 设最高点速度为 v2 ，最低点速度为 v1 ，绳长为 l在最高点： F2mgmv22l在最低点： F1mgmv12l由机械能守恒定律，得1mv12mg 2l1mv2222由，解得gF1 F26mGMm（2）R2mgGMmmv2R2=R两式联立得：v=(F1 F2 )R6mGMm（3）在星球表面：R2mg星球密度：MV由，解得F1F28 GmR点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然
3、后由密度公式求出星球的密度2 一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上沿竖直方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，已知该星球半径为，引力常量为，求：RG(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的密度；(3)该星球的 “第一宇宙速度 ”【答案】2v0(2)3v0(3)v2v0 R(1) g2RGttt【解析】(1) 根据竖直上抛运动规律可知，小球上抛运动时间2v0tg可得星球表面重力加速度： g2v0 tGMm(2)星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力，则有：mgR2gR22v0 R2得： MGtG4 R3因为 V3M3v0则有：2RGtV(3)重力提供向心力，故该
4、星球的第一宇宙速度mgm v2RvgR2v0Rt【点睛 】本题主要抓住在星球表面重力与万有引力相等和万有引力提供圆周运动向心力，掌握竖直上抛运动规律是正确解题的关键3“嫦娥一号 ”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步已知“嫦娥一号 ”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G求：(1) 嫦“娥一号 ”绕月飞行时的线速度大小；(2)月球的质量；(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大【答案】 （1） 2 RH（ 2） 4 2 R H32 R HR H（ 3）TGT 2TR【解析】（ 1） “嫦娥
5、一号 ”绕月飞行时的线速度大小v12(R H ) T（ 2 ）设月球质量为M “嫦娥一号 ”的质量为 m2根据牛二定律得 GMmm 4 (RH )(R H )2T 223解得 M4 (RH )GT 23）设绕月飞船运行的线速度为Mm0V2（V ，飞船质量为 m0 ，则 G2m0又RR23M4 (R H )GT 2联立得 V2 RHRHTR4 石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使 21 世纪的世界发生革命性变化，其发现者由此获得2010 年诺贝尔物理学奖用石墨烯超级缆绳，人类搭建“太空电梯 ”的梦想有望在本世纪实现科学家们设想，通过地球同步轨道站向
6、地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物质交换 （1）若“太空电梯 ”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1 的同步轨道站，求轨道站内质量为 m1的货物相对地心运动的动能设地球自转的角速度为，地球半径为 R（2）当电梯仓停在距地面高度h =4R 的站点时，求仓内质量m =50kg 的人对水平地板的压22力大小取地面附近的重力加速度2-5g=10m/s ，地球自转的角速度 =7.3 10rad/s，地球半3径 R=6.410km【答案】 （1） 1 m12 (R h1 )2；（ 2）11.5N2【解析】试题分析：（ 1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，
7、根据轨道半径求出轨道站的线速度，从而得出轨道站内货物相对地心运动的动能（ 2）根据向心加速度的大小，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出人对水平地板的压力大小解：（ 1）因为同步轨道站与地球自转的角速度相等，则轨道站的线速度v=（R+h1） ，货物相对地心的动能（2）根据，因为 a=，联立解得N= 11 5N根据牛顿第三定律知，人对水平地板的压力为115N5 探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦，我国航天事业向更深更远的太空迈进。（ 1） 2018 年 12 月 27 日中国北斗卫星导航系统开始提供全球服务，标志着北斗系统正式迈入全球时代。覆盖全球的北斗卫星导
8、航系统由静止轨道卫星（即地球同步卫星）和非静止轨道卫星共35 颗组成的。卫星绕地球近似做匀速圆周运动。已知其中一颗地球同步卫星距离地球表面的高度为h，地球质量为 Me，地球半径为 R，引力常量为G。a.求该同步卫星绕地球运动的速度v 的大小；b.如图所示， O 点为地球的球心，P 点处有一颗地球同步卫星，P 点所在的虚线圆轨道为同步卫星绕地球运动的轨道。已知h= 5.6R。忽略大气等一切影响因素，请论证说明要使卫星通讯覆盖全球，至少需要几颗地球同步卫星？（cos81= 0.15 sin810.99,）（2）今年年初上映的中国首部科幻电影流浪地球引发全球热议。根据量子理论，每个h光子动量大小p（
9、h 为普朗克常数，为光子的波长）。当光照射到物体表面时将产生持续的压力。设有一质量为 m 的飞行器，其帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光全部反射。已知引力常量为 G，光速为 c，太阳质量为 Ms，太阳单位时间辐射的总能量为E。若以太阳光对飞行器光帆的撞击力为动力，使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，成为“流浪飞行器”。请论证：随着飞行器与太阳的距离越来越远，是否需要改变光帆的最小面积 s0。（忽略其他星体对飞行器的引力）【答案】（ 1GM eb至少需要3 颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）随着飞行） a. vhR器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积s0【解析】【详解】（1） a设
10、卫星的质量为m。由牛顿第二定律 GM emv2，2mR hRhGM e得 vR hb如答图所示，设P 点处地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2，至少需要 N 颗地球同步卫星才能覆盖全球。由直角三角形函数关系 cosR， h= 5.6 R，得 = 81。Rh所以 1 颗地球同步卫星可以覆盖地球赤道的范围对应地心的角度为2 =162 360N=2.22所以， N = 3，即至少需要3 颗地球同步卫星才能覆盖全球（2）若使飞行器始终朝着远离太阳的方向运动，当飞行器与太阳距离为r 时，光帆受到太阳光的压力 F 与太阳对飞行器的引力大小关系，有FG M smr 2设光帆对太阳光子的力为F
11、，根据牛顿第三定律F = F设t 时间内太阳光照射到光帆的光子数为n ，根据动量定理： F t2n hEt设t 时间内太阳辐射的光子数为N，则Nch设光帆面积为s， nsN4 r 2当 F =G M sm时，得最小面积 s02 cGM smr 2E由上式可知， s0 和飞行器与太阳距离 r 无关，所以随着飞行器与太阳的距离越来越远，不需要改变光帆的最小面积 s0。6 人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20 余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了
12、依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T，两颗恒星之间的距离为d，引力常量为G。求此双星系统的总质量。(3)北京时间 2019 年 4 月 10
13、日 21 时，由全球 200 多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。同学们在查阅相关资料后知道：黑洞具有非常强的引力，即使以8310m/s 的速度传播的光也不能从它的表面逃逸出去。地球的逃逸速度是第一宇宙速度的2 倍，这个关系对于其他天体也是正确的。地球质量2422me =6.0 10kg，引力常量G= 6.67 10-N?11 m / kg。请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）【答案】 (1)
14、r 3Gms(2)4 2 d 3-3222 (3) 9m10T4GT【解析】【详解】设太阳质量为 ms，地球质量为 me，地球绕太阳公转的半径为 r 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力根据万有引力定律和牛顿运动定律Gmsmeme42rr2T2解得常量r 3GmsT 242设双星的质量分别为m1 m2，轨道半径分别为r1r2、根据万有引力定律及牛顿运动定律m1m242Gm1r1d2T2m1m2m24 2r2Gd2T2且有r1 +r2 d双星总质量m总 =m1m242d 3GT 2设地球质量为 me，地球半径为R。质量为 m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为 v1由万有引力
15、定律和牛顿第二定律Gm mv2em 1R2R解得v1GmeR逃逸速度v22GmeR假如地球变为黑洞v2c代入数据解得地球半径的最大值-3R=9 10m7 我国首颗量子科学实验卫星于 2016 年 8 月 16 日 1 点 40 分成功发射。量子卫星成功运行后，我国已首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的点，求量子卫星的线速度与P 点的线速度之比。n 倍，图中P 点是地球赤道上一【答案】【解析】试题分析：研究量子卫星和同步卫星绕地球做匀速圆周
16、运动，根据万有引力提供向心力，求出两颗卫星的线速度；研究地球赤道上的点和同步卫星，具有相等角速度，求P 点的线速度，从而比较量子卫星的线速度与P 点的线速度之比。设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力则有：，又解得：对同步卫星，根据万有引力提供向心力则有：，又解得：同步卫星与P 点有相同的角速度，则有：解得：则量子卫星的线速度与P 点的线速度之比为【点睛】求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用82003 年 10 月 15 日，我国神舟五号载人飞船成功发射标志着我国的航
17、天事业发展到了一个很高的水平飞船在绕地球飞行的第5 圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h 的圆形轨道已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，引力常量为G，求：(1)地球的质量；(2)飞船在上述圆形轨道上运行的周期T【答案】(1) MgR 2(Rh)3(2) T 2gR2G【解析】【详解】(1)根据在地面重力和万有引力相等，则有G MmmgR2gR2解得： MG(2)设神舟五号飞船圆轨道的半径为r，则据题意有：rR hMm2飞船在轨道上飞行时，万有引力提供向心力有：4Gr 2m T 2 r解得： T2 ( R h)3gR29 今年 6 月 13 日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观
18、测卫星高分四号正式投入使用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星如图所示，卫星，已知地球半径为R，地球自转的周期为T，地球表面的重力加速度为A 是地球的同步g,求：（ 1）同步卫星离地面高度 h（ 2）地球的密度 (已知引力常量为 G)223g【答案】（ 1） 3 gR TR （ 2）4 24 GR【解析】【分析】【详解】（ 1）设地球质量为 M，卫星质量为 m，地球同步卫星到地面的高度为 h，同步卫星所受万有引力等于向心力为G mM4 2 R hm( R h)2T2在地球表面上引力等于重力为MmGR2mg故地球同步卫星离地面的高度为h3gR2T242R（2）根据在地球表面上引力等
19、于重力G MmmgR2结合密度公式为gR2MG3gV 4 R34 GR310 高空遥感探测卫星在距离地球表面h 的轨道上绕地球转动，已知地球质量为M，地球半径为 R，万有引力常量为G，求：(1)人造卫星的角速度 ；(2)人造卫星绕地球转动的周期；(3)人造卫星的向心加速度 【答案】 （1）GMRhh） R h （3） aGMh2（ 2） T2（ R2RGMR h【解析】【分析】根据万有引力提供向心力Mm2 2v22求解角速度、周期、向Gr 2m( T ) r m rm r ma心加速度等。【详解】（1）设卫星的角速度为，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：mMG2 m2(R+h)，Rh解得卫星角速度GMRhRh2故人造卫星的角速度GMRhR2h（2）由 GMm（422）2R hm RhT得周期 T2（ RR hh）GM故人造卫星绕地球运行的周期为T2（ Rh） Rh GMmMGM（3）由于 G2=m a 可解得，向心加速度 a=2RhR h故人造卫星的向心加速度为GM2 Rh【点睛】解决本题的关键知道人造卫星绕地球运行靠万有引力提供向心力，即GMmr 2m(2 2)r Tmv2r2mrma .
