1、最新物理万有引力与航天练习一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1 一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间t，又已知该星球的半径为 R，己知万有引力常量为G，求：（ 1）小球抛出的初速度 vo（ 2）该星球表面的重力加速度g（ 3）该星球的质量 M（ 4）该星球的第一宇宙速度 v（最后结果必须用题中己知物理量表示）【答案】 (1) v0=x/t(2) g=2h/t 2(3) 2hR2/(Gt 2) (4)2hRt【解析】（ 1）小球做平抛运动，在水平方向 ： x=vt，解得从抛出到落地时间为：
2、v0=x/t（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：1h= gt2，2解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m，由万有引力等于物体的重力得：mg= G MmR2所以该星球的质量为：M= gR2= 2hR2/(Gt 2)；G（4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v，由牛顿第二定律得：G Mmm v2R2R重力等于万有引力，即mg= GMmR2，解得该星球的第一宇宙速度为：v2hRgRt2“嫦娥一号 ”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步已知“嫦娥一号 ”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为
3、H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G求：(1) 嫦“娥一号 ”绕月飞行时的线速度大小；(2)月球的质量；(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大【答案】 （1） 2R H（ 2） 4 2 R H32 R HR H（ 3）TGT 2TR【解析】2(R H )（ 1） “嫦娥一号 ”绕月飞行时的线速度大小 v1T（ 2 ）设月球质量为M “嫦娥一号 ”的质量为 mMm2根据牛二定律得Gm4 (R H )(RH )2T 223解得 M4 (RH )GT 2（3）设绕月飞船运行的线速度为V，飞船质量为Mm0V 2又R2Rm0 ，则 Gm023M4 (R H
4、 )GT 2联立得 V2 RHRHTR3 某星球半径为 R 6 106 m ，假设该星球表面上有一倾角为30 的固定斜面体，一质量为 m 1kg 的小物块在力 F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平行，如图甲所示已知小物块和斜面间的动摩擦因数3 ，力 F 随位移 x 变化的规律3如图乙所示（取沿斜面向上为正方向）已知小物块运动12m时速度恰好为零，万有引力常量 G6.6710 11 N?m 2 /kg 2 ，求（计算结果均保留一位有效数字）（1）该星球表面上的重力加速度g 的大小；（2）该星球的平均密度【答案】 g 6m / s2 ，【解析】【分析】【详解】（1）对物块受力分析
5、如图所示；假设该星球表面的重力加速度为g，根据动能定理，小物块在力F1 作用过程中有：F1s1fs1mgs1 sin1 mv202N mgcosfN小物块在力 F2 作用过程中有：F2s2fs2mgs2 sin01 mv22由题图可知： F1 15N， s16?m； F23?N， s2 6?m整理可以得到：(2)根据万有引力等于重力：，则：，代入数据得4 如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v0 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为 R，万有引力常量为G，求：（ 1）该星球表面的重力加速度；（ 2）该星球的密
6、度；（ 3）该星球的第一宇宙速度 v；（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T2v0 tan3v0 tan； (3)2v0RtanaRt【答案】 (1)； (2)t； (4) 2t2 GRtv0tan【解析】【分析】【详解】(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：y1 gt22gttanv0t2v0x解得该星球表面的重力加速度：2v0 tangt(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：GMmR2则该星球的质量：mggR 2MG该星球的密度：M3g3v0tan4R34 GR2 GRt3(3)根据万有引力提供向心力得：G Mmm v2R2R该星球的第一宙速
7、度为：GM2v0 RtanavgRRt(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:2 RTv所以：T 2 Rt2Rtv0 Rtanv0tan点睛：处理平抛运动的思路就是分解重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量5宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上，斜坡的倾角，已知该星球的半径为R，引力43常量为 G，求该星球的密度（已知球的体积公式是V=R）3【答案】 3V0 tan2RGt【解析】试题分析：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛
8、运动的规律求出星球表面的重力加速度根据万有引力等于重力求出星球的质量，结合密度的公式求出星球的密度设该星球表现的重力加速度为g，根据平抛运动规律：水平方向： xv0t竖直方向： y1gt 22平抛位移与水平方向的夹角的正切值y1gt 2tan2xv0t得： g2v0 tant设该星球质量 M ，对该星球表现质量为 m1的物体有GMm1gR 2R2m1 g ，解得 MG由 V4R3 ，得：M3v0 tan3V2RGt62016年2 月11 日，美国 “激光干涉引力波天文台”（LIGO）团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13 亿光年之外一个双黑洞系统的合并已知光在真空中传播的速
9、度为c，太阳的质量为M0 ，万有引力常量为G（1）两个黑洞的质量分别为太阳质量的26 倍和 39 倍，合并后为太阳质量的62 倍利用所学知识，求此次合并所释放的能量（ 2）黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体a因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为 r 0 的匀速圆周运动由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞利用所学知识求此黑洞的质量M；b严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识
10、，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m1、 m2 的质点相距为 r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为E pG m1m2 （规定无穷远处r势能为零）请你利用所学知识，推测质量为M的黑洞，之所以能够成为“黑 ”洞，其半径R 最大不能超过多少？【答案】（ 1） 3M 0c2（ 2）M4 2r032GMGT 2c2； R【解析】【分析】【详解】（1）合并后的质量亏损m(2639) M 062M 03M 0根据爱因斯坦质能方程2Emc得合并所释放的能量E3M 0c2（2） a小恒星绕黑洞做匀速圆周运动，设小恒星质量为m根据万有引力定
11、律和牛顿第二定律G Mmm 22r0r02T解得M 4 2 r032GTb设质量为m 的物体，从黑洞表面至无穷远处；根据能量守恒定律1 mv2G Mm02R解得2GMRv2因为连光都不能逃离，有v =c 所以黑洞的半径最大不能超过2GMRc27 我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L，质量分别为M1、 M2 ( 万有引力常量为 G)试计算：12双星的轨道半径双星运动的周期M 2L，M 1L ；2 ?2 LL【答案】 1 ?M 2；M 1 M 2M 1G M 1 M 2【解析】设行星转动的角速度为，周期为T
12、1 如图，对星球 M 1 ，由向心力公式可得：G M 1 M 2M 1 R12L2同理对星 M 2，有： G M 1M 2M2R 2 2L2两式相除得：R1M 2 ，)R 2M 1( 即轨道半径与质量成反比又因为 L R 1 R 2所以得： R 1M 2L ， R 2M 1LM 1M 2M 1M 22 有上式得到： 1G M 1M 2LL2T 2LL因为 T，所以有：G M 1M 2答： 1 双星的轨道半径分别是M 2L ， M 1L ；M 1M 2M 1 M 22 双星的运行周期是2LLG M 1M 2点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步
13、计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期8 木星在太阳系的八大行星中质量最大，“木卫 1”是木星的一颗卫星，若已知“木卫 1”绕木星公转半径为r，公转周期为T，万有引力常量为G，木星的半径为R，求（ 1）木星的质量 M；（ 2）木星表面的重力加速度 g0 【答案】（ 1） 4 2r 3(2) 42r 3GT 2T 2 R2【解析】(1)由万有引力提供向心力G Mmm( 2)2 rr 2T可得木星质量为 M42r 3GT 2(2)由木星表面万有引力等于重力Mmm g0： GR2木星的表面的重力加速度g042 r 3T2 R2【点睛 】万有引力问题的运动，一般通过万有引力做向心力得到半径
14、和周期、速度、角速度的关系，然后通过比较半径来求解9已知某行星半径为，以其第一宇宙速度运行的卫星的绕行周期为，该行星上发射的同步卫星的运行速度为.求（ 1）同步卫星距行星表面的高度为多少？（ 2）该行星的自转周期为多少？【答案】（ 1）（ 2）【解析】【分析】【详解】（1）设同步卫星距地面高度为，则：，以第一宇宙速度运行的卫星其轨道半径就是R，则联立解得：（2）行星自转周期等于同步卫星的运转周期10 2018 年 12 月 08 日凌晨 2 时 23 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射嫦娥四号探测器，开启了月球探测的新旅程。嫦娥四号探测器后续将经历地月转移、近月制动、环月飞行，最终实现人类首次月球背面软着陆。设环月飞行阶段嫦娥四号探测器在靠近月球表面的轨道上做匀速圆周运动，经过t 秒运动了N 圈，已知该月球的半径为 R，引力常量为G，求：（ 1）探测器在此轨道上运动的周期T；（ 2）月球的质量 M；（ 3）月球表面的重力加速度 g。【答案】（ 1） TtM4 2 N 2 R3（ 3）g4 2 N 2 R（ 2）Gt 2t2N【解析】【详解】（1）探测器在轨道上运动的周期Tt；N（ 2）根据 G mM m 4 2 R 得，R22T行星的质量 M4 2 N 2 R3；Gt 2（3）根据万有引力等于重力得，G mM mg ，R24 2 N 2 R解得 g2t
