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初中数学青年教师解题竞赛分类1.doc

1、初中数学青年教师解题竞赛分类一整数解问题1 已知 m 为整数,且 12m40,试求 m 为何值时,关于未知数 x 的方程有两个整数根0814)32(2xx解:=-2 (2m-3 )2-4 (4m2-14m+8)=8m+4,关于未知数 x 的方程 x2-2( 2m-3)x+4m2-14m+8=0 有两个根,8m+40,关于未知数 x 的方程 x2-2( 2m-3)x+4m2-14m+8=0 有两个整数根 = 2m+1 是整数,又12m40,5 2m+1 9,方程有两个整数根必须使 2m+1 为正整数,且 m 为整数, 2m+1 =7 ,m=242 已知方程 x2-6x-4n2-32n=0 的根都

2、是整数,求整数 n 的值。=36+4(4n2+32n) =4(4n2+32n+9) =44(n2+8n+16)-55 =44(n+4)2-55 4(n+4)2-55 是完全平方数,能够开出整数 设 A=2(n+4),4(n+4)2-55 是 B 的完全平方数 A2-55=B2 A2-B2=55 (A+B)(A-B)=55=5*11 A+B=11,A-B=5 或 A+B=5,A-B=11 A=8,即 2(n+4)=8 n=0 或者 (A+B)(A-B)=55=55*1 A+B=55,A-B=1 或 A+B=1,A-B=55 A=28,即 2(n+4)=28 n=103 试确定一切有理数 r,使得

3、关于 x 的方程 rx2+(r+2)x+r-1=0 有且只有整数根。4 已知:方程 x22(m+1)x+m 2=0 有两个整数根,且 12 m=0 得到 a2+2ab+b2=4ab: (a-b)2=0 (完全平方大于等于 0) 展开,得到 a2-2ab+b2=0 两边同时加4ab 得到 a2+2ab+b2=4ab 即(a+b)2=4ab。那么由于 a+b=8 代入上面证明的不等式,即可以得到 ab=0 要使左边=右边只有左边=右边=0 那么可以得到 ab=16,c=4 根 2 解得 a=b=4,c=4 根 2 代入,就可以求解 bx2+cx-a=0 的根18、直角ABC 斜边上的高等于 4,则

4、ABC 的面积的最小值等于三角形 ABC 中斜边高 AD=4求面积的最小值 BD+CD=BCBD*CD=4 方 =16设 BD,CD 是方程 X 方-BC*X+16=0 的两根则 BC 方-4*16=0 即 BC 最小值为 8当 BC=8 时最小面积最小值 =4*8/2=1619、如果方程 的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长,则325(4)0xkx实数 k 的值为( )20.若实数 满足 ,代数式 的最大值是cba, 922cb 222)()()(acba(A)27 (B)18; (C)15; (D)12.21.关于 x 的方程 2kx2(8k1)x=8k 有两个实根,则 k 的取值范围是

5、( )(A)k (B )k 且 k0 (C)k= (D)k 且 k066161622 若 ,且 ,则 的取值范围为 .0cbacbaa23 已知任意三角形 ABC,其面积为 S. 作 BC 的平行线与 AB、AC 分别交于 D、E 设三角形 BDE 的面积为 M,求证:M S41 24 已知 、 、 、 为不同的实数,且 、 是方程 的根, 、 是方abcdac02baxd程 根.求 、 、 、 的值. 02xabcd25 在正实数范围内,只存在一个数是关于 的方程 的解,求实数xkxk312的取值范围k26设 , , 为互不相等的实数,且满足关系式abc14622acb5a求 a 的取值范围

6、三 、三角形两边之和大于第三边1不等边三角形 ABC 的两条高的长度分别为 4 和 12,若第三条高也为整数,那么它的长度最大可能是_2过半径为 r 的圆 O 的直径 AB 上一点 P,作 PCAB 交圆周于 C若要以 PA、PB、PC为边作三角形,求 OP 长的范围3 在ABC 中,AB 10,AC5,D 是 BC 上的一点,且 BD:DC2:3,则AD 的取值范围是 .四 圆1、两个等圆相交于 A、B 两点,过 B 作直线分别交两圆于点 C、D那么ACD 一定是 _三角形 (要求以边或角的分类作答)2 如图,AB=AC=AD 且DAC=kCAB 则DBC 是BDC 的 倍。3、如图, 内接

7、于O ,点 是 上任意一点(不与 重合) ,ABCPACCA、的取值范围是 则,54AB、AC 为O 相等的两弦,弦 AD 交 BC 于 E,若 AC12,AE8,则 AD .5一直角三角形的斜边长为 c,它的内切圆的半径是 r,则内切圆的面积与三角形的面积的比值_6.如图,AB 为半圆的直径,C 为半圆上一点,CDAB 于 D.若 CD=6,AD DB=3 2 ,则 ACBC 等于( )(A)15 (B)30 66(C) 60 (D)907如果O 外接于正方形 ABCD,P 为劣弧 AD 上的一个任意点,求:的值.PB8 设正方形的中心为 O,连结 AO,如果 AB4,AO6 ,那么 AC

8、的长等于29 如图 3,在ABC 中,以 BC 为直径的O 交 AB 于 D,交 AC 于 E,BD=CE,求证:AB=AC(用多种方法证明.详写其中一种证明,其余证明则略写.用三种方法证明结论成立的满分)10 (7 分)如图,过以 AB 为直径的半圆 O1 上任一点 C 作 CDAB 于 D,O 分别切AB、CD、 于点 G、E、F,求证:AC=AG。11、如图,在 中, ,经过点 且与边 相切的动圆ABC 1086ACB, , CAB与 分别相交于点 ,则线段 长度的最小值是 ( ), EF,A B424.75C4.8 D512、如图 3,若 PAPB,APB2ACB ,AC 与 PB 交

9、于点 D,且 PB4,PD 3,则ADDC 等于 ( )A、6 B、7 C、12 D、16BCEF APA BCDABCFE13、如图,在直角坐标系 xOy 中,已知 A(12,0) ,B(0,9) ,C(3,0) ,D(0,4) ,Q 为线段 AB 上一动点,OQ 与过 O、C 、D 三点的圆交于点 P。问 OPOQ 的值是否变化?证明你的结论。14已知 是圆 的直径,弦 和 相交于点 , 那么 等于( ) ABOADBCPABCD(A) (B)cos (C)tan (D)cotPsinP15如图,O 的圆心在梯形 ABCD 的底边 AB 上,并与其它三边均相切,若 AB=10,AD=6,则

10、 CB 长为( )A、4 B、5 C、6 D、无法确定16.如图:已知 P 为O 直径 AB 上任意一点,弦 CD 过 P 且与 AB 交成 45角.求证:PC 2+PD2 为定值.17、如图,有两个同心圆,大圆的弦 AB 与小圆相切于点 P, 大圆的弦 CD 经过点 P,且CD 13,PD4,两圆组成的圆环的面积是 . P18如图, 的角 所对边分别为 ,ABC, ,abc点 的外心,是O,于,于 EACOD则 ( ) ,于 FEF (A) (B) abc cba1:O ABCDPQxyD CA O B(第 2 题图)OPDCBA.A BCDO第 5 题图(C) (D)CBAcos:cos

11、CBAsin:si19 如右图,已知半圆 O 的直径 AB=6,点 C、D 是半圆的两个三等份点,则弦 BC、BD 和弧 围成的图形的面积为 * .(结果可含有 )D20 (本小题 10 分)在 中, 以 为圆心, 的长为半径作ABC,60,4ACAB圆交 边于 ,若 的长均为正整数,求 的长BCD和 B21如图,点 P 为O 外一点,过点 P 作O 的两条切线,切点分别为 A,B过点 A 作PB 的平行线,交O 于点 C连结 PC,交O 于点 E;连结 AE,并延长 AE 交 PB 于点K求证:PE AC=CEKB22、如图,在平行四边形 ABCD 中,过 A、B、C 三点的圆交 AD 于

12、E,且与CD 相切,若 AB4,BE5,则 ED 的长为。 A3 B4 C D4156第 9 题图第 21 题图D CO BA(第 13 题)A BCOPEKBCDAE23、在锐角ABC 中,ADBC,D 为垂足,DEAC,E 为垂足,DFAB ,F 为垂足。O 为ABC 的外心。求证:(1)AEFABC ;(2)AOEF24、在 RtABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,AC3,BC4,分别用 r、 、 表示12ABC、ACD、BCD 内切圆的半径,则 r ( )1225 p 是o 的直径 AB 的延长线上一点,PC 与o 相切于点 C,APC 的角平分线交 AC 于 Q,则则PQC =

13、_.五 函数图象解题 一元二次方程根的分布1若方程 有四个不等实根,则 b 的取值范围为 。bxx3/1322 证明关于 的方程 的一根大于 、一根小于 ( 、 ) 。x1)(baxaaRb4.当 取遍 0 到 5 的所有实数值时,满足 的整数 的个数是 .a )83(abb5 若直角三角形两直角边分别为 6cm 和 8cm,则这个直角三角形的内心与外心的距离是cm7若关于未知数 的方程 有两个不相等的实数根,则实数xxpp的取值范围是 .8 函数 的最小值是 142y9试写出 m 的一个数值,使关于未知数 x 的方程 的两根中一个大于08242mx1,另一个小于 1.10 设 m 是整数,且

14、方程 3x2mx2=0 的两根都大于 而小于 ,则5973m=_。11.已知:方程 7x2(k+13)x+k 2k2=0 的两个实数根 x1,x2 满足:0x 11x22. 求:k 的取值范围. (1990 年全国初中数学联赛题)12 m 取什么值时,方程 x2+(m+2)x+3=0 的两个根都大于 1?13. 若方程 x2+(1-2m)x+m2-m=0 两个实数根中,一根大于 2,另一根小于 2.求 m 的取值范围.14. 已知:方程 3x2+(m-1)x+3m+2=0 两个实数根中,一根大于 3,另一根小于2.求:m 的取值范围.15如果关于 的方程 有一个小于 1 的正数根,那么实数 的

15、x0122ax a取值范围是 六数列1如图,在锐角 内,有五个相邻外切的不等圆,它们都与 角的边相切,且半径分别为 r1、r 2、r 3、r 4、r 5若最小的半径 r11,最大的半径 r581。求 2.如图,已知:五圆 1、 2、 3、 4、 5 顺次排列且互相外切,又均与两直线公切,最小圆 1 半径为 8,最大圆 5 半径为 18.求: 2、 3、 4 的半径 R2,R 3、R 4.3梯子的最高一级宽 33cm,最低一级宽 110cm,中间还有 10 级,各级的宽成等差数列,计算与最低一级最接近的一级的宽OOOO54321O八高中杂题1条件 P: 或 ,条件 q: 中,P 是 q 的_条1

16、x21x件 (填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中的一个)2 函数 中,自变量 x 的取值范围是_23xy3已知一条曲线在 x 轴的上方,它上面的每一点到点 A(0,2)的距离减去它到 x 轴的距离的差都是 2,求这条曲线的方程10点 P 在锐角ABC 的边上运动,试确定点 P 的位置,使 PA+PBPC 最小,并证明你的结论.11、满足方程 的有理数 有多少个 ( )4321xxx(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数12、已知 ,那么直线 一定通过第 象tbaccba txf)(限.13(本小题 10 分)如图,在梯形 中, ,对角线 相交于点 ,PMNQ/MQPN和 O并

17、把梯形分成四部分,记这四部分的面积分别为 试判断 和4321SS、 21S的大小关系,并证明你的结论43S14在梯形 ABCD 中,ABCD,ACBD 相交于点 O,若 AC=5,BD=12,中位线长为 ,213AOB 的面积为 S1,COD 的面积为 S2,则 = 21S九抛物线1已知抛物线 的顶点在直线 上,且这个顶点到原点的距离为cbxay2 xy,又知抛物线与 x 轴两交点横坐标之积等于 ,求此抛物线的解析式2 12 已知抛物线 yx 2mxm2. (1)若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧,并且 AB ,试求 m 的值;5(2)设 C 为抛物线与 y 轴的交点,若抛

18、物线上存在关于原点对称的两点 M、N,并且 MNC 的面积等于 27,试求 m 的值.3.已知:二次函数 y= x2 x6 的图象与 x 轴从左到右的两个交点依次为 A、B,与 y415轴的交点为 C.第 24 题图(1)求 A、B、C 三点的坐标 .(2)求过 B、C 两点的一次函数的解析式.(3)如果 P(x,y)是线段 BC 上的动点,O 为坐标原点,试求POA 的面积 S 与 x 之间的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围.(4)是否存在这样的点 P,使得 PO=AO.若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.4 设 A、B 是抛物线 y=2x2+4x2 上的点,原点位于线段

19、 AB 的中点处。试求A、B 两点的坐标5 已知函数 的图像不经过第四象限,求常数 的取12)32(2 xxkxy k值范围.6、已知 , , 则二次函数0abc930abc2yaxbc的图象的顶点可能在( ).(A)第一或第四象限(B)第三或第四象限 (C)第一或第二象限(D)第二或第三象限7、二次函数 的图像如图所示.下列结论正确的是 ( )cxy2(A) (B)bca3bca23(C) (D )28二次函数 的图象如图所示, 是图象上的一点,且 ,2yaxbc)2,(nQBQA则 的值为( ) a(A) (B) 131(C)1 (D)2A BQO xy第 11 题图十 过定点问题1 不论

20、实数 m 为何值,方程 总有一组共同的解( , ) 。043)1(2myx2 已知:不论 k 取什么实数,关于 x 的方程 (a 、b 是常数)的根总是1632kxakx1,试求 a、b 的值。十一 点到直线的距离公式1(6 分)如图,过点 D(-1,4)的直线 分别交 负半轴、 正半轴于 A、B 两点,lxy若 Rt AOB 内切圆面积为 ,求线段 AB 的解析式。十二 三角函数有关ABC 中B=90,AD 是 BC 边上的中线,求 sinCAD 的取值范围。十三 配方法求最值1 代数式 x22xy3y 22x 2y3 的值的取值范围是 2.设 为实数,那么 的最小值是_.)(babaa22

21、3 设 、 均为实数,代数式 的最小值为 xy 428452xyx4 已知:3x 2+2y2=6x, x 和 y 都是实数,求:x 2+y2 的最大、最小值.5 计算 所得的结果是 12032016、已知 、 是不全为零的实数,则关于 的方程 的根的情况abx22()0abx为( ).(A) 有两个负根 (B)有两个正根( C)有两个异号的实根 (D )无实根7、设 x、y、z 满足关系式 x1 , 则 x2y 2z 2 的最小值为 .2y3z8 多项式 的最小值为 * .842yx9若关于未知数 x 的方程 (p、q 是实数)没有实数根,求证:02x.41qp10 若实数 满足 ,则 的最小

22、值是 ab, 2127ab11、若实数 x,y 满足条件 ,则 的最大值是 ( )0622yxxy22A、14 B 、15 C、16 D 、不能确定12如果 为实数,且 则 的取值范围是( ).yx, ,)1(22yxx(A)任意实数 (B)负实数 (C) (D)010x十四 光线问题1、已知:如图 2,正方形 ABCD 的边长为 8,M 在 CD 上,且 DM=2,N 是 AC 上的一个动点,则 DN+MN 的最小值为 2、在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,BE 2,AE BE,P 是 AC 上一动点,则3PBPE 的最小值是_. 343、已知 则当上 的 点 ,为上 的 点 ,

23、为内 一 定 点 ,为 ONBMAMONPN,0的周长取最小值时, .AB的 度 数 为B4、已知矩形 ABCD 的 AB12,AD3,E、F 分别是 AB、DC 上的点,则折线 AFEC 长的最小值为5、如图,矩形 ABCD 中,AB=20cm ,BC=10cm。若在 AC、AB 上各取一点盟 M、N,则使 BM+MN 的和达到最小值的点 N 的位置应该是_ 十五 几何旋转1、如图,正方形 ABCD 的边长为 1,P 为 AB 上的点,Q 为 AD 上的点且APQ 的周长为2,则PCQ=_度。452、如图设 O 是等边三角形 ABC 内一点已知AOB=115,BOC=125 ,则以OA,OB,OC 为边所构成的三角形的各内角的度数分别为_。55 .60 .6500

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