1、【例 1】在ABC 中，已知 A,a,b，讨论三角形解的情况.师 分析：先由 可进一步求出 B；则 C =180-(A+B),从而 .abBsini ACacsin一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况1.当 A 为钝角或直角时，必须 ab 才能有且只有一解；否则无解2.当 A 为锐角时，如果 ab，那么只有一解；如果 ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若 absinA，则有两解； （2）若 a=bsinA，则只有一解； （3）若 absinA，则无解 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且bsinAab 时，有两解；其他情
2、况时则只有一解或无解（1）A 为直角或钝角（2）A 为锐角【例 2】在ABC 中，已知 a =7,b=5,c =3，判断ABC 的类型分析：由余弦定理可知a2=b2+c2 A 是直角 ABC 是直角三角形，a2b 2+c2 A 是钝角 ABC 是钝角三角形，a2b 2+c A 是锐角/ ABC 是锐角三角形。（注意：A 是锐角/ ABC 是锐角三角形 ）解： 725 2+32,即 a2b 2+c2， ABC 是钝角三角形例题剖析【例 3】分析：前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角 B 的平分线 BD将ABC 分成了两个三角形： ABD 与CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形
3、式: ABBCAD DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为 ,再根据相等角正弦值DCBsinsi相等,互补角正弦值也相等即可证明结论.证明:在ABD 内,利用正弦定理得 ,即 ,ADiinABsi在BCD 内,利用正弦定理得 ,即 ,Css nBD 是角 B 的平分线,ABD=DBCsinABD=sinDBC.ADB+BDC=180,sinADB=sin(180-BDC)=sinBDC. .DCBABDsinsi .C评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用
4、.例题剖析【例 4】分析:此题所证结论包含关于 ABC 的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理.另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如 sin2B=2sinbcosB等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.证明一: ( 化为三角函数)a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)22sinBCOsB+(2RsinB)22sinAcosA=8R2sinAsinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinasinbsinC =22RsinA2Rsin
5、BsinC=2absinC.所以原式得证.证明二: ( 化为边的等式)左边=A 22sinBcosB+B22sinAcosA= =bcaRbacRba2222 =CcbcaRb sin)(2 教师精讲由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A =2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在转化为角的关系式后,要注意三角函数公式的运用,在此题用到了正弦二倍角公式 sin2A=2sinAcosA,正弦两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二.三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上
6、来看,这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.【例 5】分析:三角形形状的判断 ,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的运用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析. 解法一:利用余弦定理将角化为边 .bcosA=acosB, .b2+c2-a2=a2+c2-b2.a2=b2.acbca22a=b.故此三角形是等腰三角形.解法二:利用正弦定理将边转化为角 .bcosA=acosB,又 B=2RsinB，A=2RsinA, 2RsinbcosA=2RsinAcosB.sinAcosB-cosAsinB=0.sin(A-B)=0.0A,
7、B,-A-B .A-B=0,即 A=B.故此三角形是等腰三角形.评述: (1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学生要注重边角转化的桥梁正、余弦定理.(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时 ,一定要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式 sinBcosA=sinAcosB 两端同除以 sinAsinB,得 cotA=cotB,再由 0A ,B, 而得 A=B.课堂小结通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边
8、角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、余弦定理的边角转换功能.（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形形状的判定方法.布置作业1.在ABC 中,已知 ,求证: a2、b 2、c 2 成等差数列 .)sin(iCBA证明: 由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B),cos2B-cos2C=cos2A-cos2B,2cos2B=coOs2A+cos2C,2 =2cos1cs2cos122sin2B=sin2A+sin2C.由正弦定理,可得 2b2=a2+c2,即 a2、b 2、c 2 成等差数列.2.在ABC 中,A=30, cosB=2sinB-3sinC.(1)求证:ABC 为等腰三角形 ;(提示 B =C =75)(2)设 D 为ABC 外接圆的直径 BE 与边 AC 的交点,且 AB2,求 ADCD 的值.答案: (1) 略；(2)13.
