1、.数学 2017-2018 高三专题复习- 函数（ 3）函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1 、函数零点：（变号零点与不变号零点）（ 1）对于函数 yf (x) ，我们把方程 f ( x) 0 的实数根叫函数 yf(x)的零点。（ 2）方程 f ( x)0 有实根函数 y f (x) 的图像与 x 轴有交点函数 y f ( x) 有零点。若函数 f (x) 在区间 a,b 上的图像是连续的曲线，则f (a) f (b)0 是 f (x)在区间a, b 内有零点的充分不必要条件。2 、二分法： 对于在区间 a,b 上连续不断且 f (a) f (b)0 的函数 yf (x) ,通过不
2、断地把函数y f ( x) 的零点所在的区间一分为二 ,使区间的两个端点逐步逼近零点 ,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法 ;二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出： “如果函数 yf ( x) 在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a) f (b)0 ，那么，函数yf (x) 在区间（ a,b ）内有零点，即存在c(a, b) ,使得 f (c)0 , 这个 c 也是方程 f ( x)0 的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点 （或方程在某个区间上是否有根） 时，一定要注意该定理是函数存
3、在零点的充分不必要条件：如例、函数 f ( x)ln( x1)2 的零点所在的大致区间是（）x（ A）（0，1）；（ B）（1，2）；（ C）（2，e）；（D）（3，4）。分析：显然函数 f ( x) ln( x1)2在区间 1,2上是连续函数，且 f (1)0 , f ( 2) 0 ，所x2以由根的存在性定理可知，函数f (x)ln( x 1)的零点所在的大致区间是（1，2），选 Bx（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。.函数零点的存在性定理， 它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。 对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：1对
4、于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解, 如：例 . 求 f (x)x 22x 零点的个数。分析：本题直接求解，无法下手，由函数 f (x)x 22 x 的零点也是方程f ( x)x 22x0 的根，即方程 x 22x 的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数 y1x 2 、y22x , 在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以 f ( x)x 22x 零点的个数有三个。2. 对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X
5、轴交点的情况求解。（导数专题再续讲）（三）求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数 , 转化求解。如：例、求函数( )(5x3)5x56x3的零点。f x分析：考察f (x)(5x3)5x56x3 0 的特点，直接求解难以入手，可转化为求(5x 3) 5(5x3)(x 5x) 的解，根据式子特点构造函数 g(x)x5x ，显然 g (x) 为奇函数，且在 R 上单调递增，由 (5x3) 5(5x3)(x5x) 可化为 g(5x3)g( x)g ( x) ，故利用函数 g ( x) 的性质可得 5 x3x ，则 x1 ，所以函数 f( x) 的零点为
6、 x122.基础练习1 、下列函数中，不能用二分法求零点的是（）答案 B2 、已知函数 f (x) 的图象是连续的，有如下表。函数f ( x) 在区间 1,6 上的零点至少有（）答案 Cx123456f ( x)123.5621.457.8211.5753.76126.49A2 个B 3 个C4 个D 5 个3.设 、分别是方程 log 2 xx40和 2xx 4 0 的根，则。答案 44.已知函数f (x)x2a b 为常数），且方程 f ( x)x 12 0有两实根 3 和 4axb( ,(1)求函数 f (x) 的解析式；(k1)xk(2) 设 k 1，解关于 x 的不等式： f (x)2x解： （1 ）即方程x 2x120 有两根 3 和 4 ，所以bax990a1x23ab所以f (x)16得b22 x804ab（2 ）即 x2x(k 1) xk 整理的 (x2)( x1)( x k) 022x1k 2 时，不等式的解集 x |1x k或 x2 ； k2 时，不等式的解集 x | 1x2或 x2 ；k2 时，不等式的解集 x |1x2或x k.
