1、名校名 推荐第八 相除法与更相减 一、三维目标（ a）知 与技能1. 理解 相除法与更相减 中 含的数学原理，并能根据 些原理 行算法分析。2. 基本能根据算法 句与程序框 的知 完整的程序框 并写出算法程序。（ b） 程与方法在 相除法与更相减 求最大公 数的学 程中 比我 常 的 分求公因式的方法， 比 它 在算法上的区 ，并从程序的学 中体会数学的 ， 会数学算法 算机 理的 合方式，初步掌握把数学算法 化成 算机 言的一般步 。（ c）情 与价 1. 通 中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学 世界数学 展的 献。2. 在学 古代数学家解决数学 的方法的 程中培养 的 思 能力，在
2、利用算法解决数学 的 程中培养理性的精神和 手 践的能力。二、教学重难点重点：理解 相除法与更相减 求最大公 数的方法。 点：把 相除法与更相减 的方法 成程序框 与程序 言。三、教学设计（一） 情景，揭示 1.教 首先提出 ： 在初中，我 已 学 求最大公 数的知 ， 你能求出18 与 30的公 数 ？2.接着教 一步提出 ， 我 都是利用找公 数的方法来求最大公 数，如果公 数比 大而且根据我 的 察又不能得到一些公 数，我 又 怎 求它 的最大公 数？比如求8251与 6105 的最大公 数？ 就是我 一堂 所要探 的内容。（二）研探新知1. 相除法例 1 求两个正数 8251 和 61
3、05 的最大公 数。解： 8251 6105 1 2146 然 8251 的最大公 数也必是 2146 的 数，同 6105 与 2146 的公 数也必是 8251 的 数，所以 8251 与 6105 的最大公 数也是 6105 与 2146 的最大公 数。6105 21462 18132146 1813 1 3331813 333 5 148333 148 2 3714837 40则 37 为 8251 与 6105 的最大公 数。以上我 求最大公 数的方法就是 相除法。也叫欧几里德算法， 它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用 相除法求最大公 数的步 如下：第一步：用 大的数
4、m除以 小的数n 得到一个商q0 和一个余数r 0；第二步：若r 0 0， n 为 m， n 的最大公 数；若r 00， 用除数n 除以余数r 0 得到一个商q1和一个余数r 1；第三步：若r 1 0， r 1 为 m，n 的最大公 数；若r 10， 用除数r 0 除以余数r 1 得到一个商q2和一个余数r 2；依次 算直至r n 0，此 所得到的r n 1 即 所求的最大公 数。（ 1） 相除法的程序框 及程序程序框 ：（略）程序：（当循 构）直到型 构 37 面。1名校名 推荐INPUT “ m=”;mINPUT “ n=”;nIF mn THEN x=mm=nn=xEND IFr=m M
5、OD nWHILE r0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND练习：利用辗转相除法求两数4081 与 20723 的最大公约数（答案：53）2. 更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2 约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例
6、2 用更相减损术求98 与 63 的最大公约数 .解：由于 63 不是偶数，把98 和 63 以大数减小数，并辗转相减，即：98 63356335 283528 7287 21217 14147 7所以， 98 与 63 的最大公约数是7。练习：用更相减损术求两个正数84 与 72 的最大公约数。 （答案： 12）3. 比较辗转相除法与更相减损术的区别（ 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（ 2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到5. 课堂练习一 . 用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。（ 1）225； 135 （ 2）98； 196 （ 3） 72； 168 （4） 153；1196. 小结：辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。作业：习案作业八2
