1、.初中数学几何模型大全+ 经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。.对称半角模型说明：上图依次是 45 、30 、22.5 、15 及有一个角是 30 直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长
2、中点相关线段转换成旋转全等问题.旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法：遇 60 度旋 60 度，造等边三角形.遇 90 度旋 90 度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋 180 度，造中心对称.共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形， 第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“ 8”字模型可以证明。模型变形.说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。.当遇到复杂图形找不到旋转全等时， 先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点
3、， 围绕公共顶点找到两组相邻等线段， 分组组成三角形证全等。中点旋转：说明：两个正方形、 两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点， 证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。 证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边， 转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。.几何最值模型对称最值 (两点间线段最短 )对称最值 (点到直线垂线段最短).说明：通过对称进行等量代换， 转换成两点间距离及点到直线距离。旋转最值 (共线有最值 )说明：找到与所要求最值相
4、关成三角形的两个定长线段， 定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。剪拼模型.三角形四边形四边形四边形说明：剪拼主要是通过中点的 180 度旋转及平移改变图形的形状。.矩形正方形说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变.正方形 + 等腰直角三角形正方形面积等分旋转相似模型.说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是 300 角的直角三角形成旋转相似。推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“ 8”字的规律。相似模型.说明：注意边和角的对应， 相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。说明：（ 1）
5、三垂直到一线三等角的演变，三等角以30 度、 45度、 60 度形式出现的居多。（ 2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆.幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行， 根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。.初中数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图， O 是半圆的圆心， C、 E 是圆上的两点， CD AB， EFAB，EGCO.求证： CD GF（初二）02、已知：如图， P 是正方形 ABCD 内点，PA
6、D PDA 15 求证： PBC 是正三角形（初二）.3、如图，已知四边形 ABCD、 A1B1C1D 1 都是正方形， A2、 B2、C2、D2 分别是 AA 1、BB1、CC1 、DD 1 的中点求证：四边形A2B2C2 D2 是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中， AD BC，M 、 N 分别是AB、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交 MN 于 E、F求证： DEN F.经典难题（二）1、已知： ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OM BC 于 M （ 1）求证： AH 2OM ；（ 2）若 BAC 60 0，求证： AH AO（初二）
7、2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交MN 于 P、 Q求证： APAQ （初二）.3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、 EB 分别交 MN 于 P、Q求证： AP AQ（初二）4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在 ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是 EF 的中点.求证：点 P 到边 AB 的距离等于AB 的一半（初二）经典难题（三）1、
8、如图，四边形 ABCD 为正方形， DEAC， AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证： CECF（初二）.2、如图，四边形 ABCD 为正方形， DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证： AEAF（初二）3、设 P 是正方形ABCD 一边 BC 上的任一点， PF AP， CF 平分 DCE求证： PAPF（初二）D.4、如图， PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证：AB DC，BCAD （初三）经典难题（四）1、已知： ABC 是正三角形， P 是三角形内一点，PA 3， PB 4，PC 5求
9、： APB 的度数（初二）2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA.求证： PAB PCB（初二）3 、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BCACBD（初三）.4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证： DPA DPC（初二）经典难题（五）1、设 P 是边长为 1 的正 ABC 内任一点， LPAPB PC，求证：L 22、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求PAPBPC 的最小值.3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求
10、正方形的边长4、如图， ABC 中， ABC ACB80 0，D、 E 分别是 AB、00AC 上的点， DCA30 ， EBA 20 ，求 BED 的度数.经典难题（一）1.如下图做 GH AB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以 GFH OEG,即 GHF OGE,可得 EO = GO = COGFGHCD得证。,又 CO=EO ，所以 CD=GF2. 如下图做 DGC 使与 ADP 全等，可得 PDG 为等边， 从而可得 DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC, 和 DCG= PCG 15 0所以 DCP=30 0 ，从而得出 PBC 是正三角形.3.如下图连接BC1 和
11、 AB1 分别找其中点F,E.连接 C2F 与 A 2E 并延长相交于 Q 点，连接 EB2 并延长交 C2 Q 于 H 点，连接 FB2 并延长交 A2Q 于 G 点，由 A2 E= 12 A1B1= 12 B1C1= FB 2 ，EB2= 12 AB= 12 BC=FC1 ，又 GFQ+ Q=90 0 和 GEB2+ Q=90 0,所以 GEB2= GFQ 又 B2FC2= A 2EB2 ，可得 B2FC2 A2EB2 ，所以 A2B2=B 2C2 ，又 GFQ+ HB2 F=90 0 和 GFQ= EB2A2 ,从而可得 A2B2 C2=90 0 ，同理可得其他边垂直且相等，.从而得出四
12、边形A2B2 C2D2 是正方形。4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM ，所以可得 QMF= F， QNM= DEN 和 QMN= QNM ，从而得出 DEN F。.经典难题（二）1.(1) 延长 AD 到 F 连 BF，做 OGAF,又 F= ACB= BHD ，可得 BH=BF, 从而可得 HD=DF ，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2) 连接 OB，OC,既得 BOC=120 0，从而可得 BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。3.作 OF CD，OGBE，连接 OP， OA，OF，AF，OG，AG，O
13、Q。.由于 AD = AC = CD = 2FD = FD ，ABAEBE2BGBG由此可得 ADF ABG ，从而可得 AFC= AGE。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC= AOP 和AGE= AOQ ， AOP= AOQ ，从而可得 AP=AQ 。4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高EG， CI， FH 。可得PQ= EG + FH 。2由 EGA AIC ，可得EG=AI ，由 BFH CBI ，可得FH=BI 。从而可得 PQ=AI + BI =AB ，从而得证。22.经典难题（三）1.顺时针旋转 ADE，到 ABG，连接 CG.000由于 ABG= A
14、DE=90 +45 =135从而可得 B， G，D 在一条直线上，可得AGB CGB。推出 AE=AG=AC=GC ，可得 AGC 为等边三角形。 AGB=30 0，既得 EAC=30 0，从而可得 A EC=75 0。000又 EFC=DFA=45 +30 =75 .可证： CE=CF。.2.连接 BD 作 CH DE，可得四边形CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ，可得 CEH=30 0，所以 CAE= CEA=AED=15 0，又 FAE=90 0+45 0+15 0=150 0，从而可知道 F=15 0，从而得出AE=AF 。.3.作 FGCD， FEBE，可以得出GF
15、EC为正方形。令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tan BAP=tan EPF= X =Z，可得 YZ=XY-X 2+XZ ，Y Y - X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出 ABP PEF ，得到 PAPF ，得证 。.经典难题（四）1.顺时针旋转 ABP60 0 ，连接 PQ ，则 PBQ 是正三角形。可得 PQC 是直角三角形。所以 APB=150 0 。2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点E，使 AEDC ，BEPC.可以得出 ABP= ADP= AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等） 。可得 BAP= BE
16、P= BCP，得证。.3.在 BD 取一点 E，使 BCE=ACD，既得 BEC ADC ，可得：BE = ADBCAC，即 AD ?BC=BE?AC，又 ACB= DCE，可得 ABC DEC，既得AB = DEACDC，即 AB?CD=DE ?AC，由 + 可得 : AB?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC BD ，得证。.4.过 D 作 AQ AE ， AG CF ，由 SV ADE = SY ABCD = SVDFC ，可得：2AE gPQ = AE gPQ ，由 AE=FC。22可得 DQ=DG ，可得 DPA DPC（角平分线逆定理） 。.经典难题（五）1.（1）顺时针旋转 BPC 600 ，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP ，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L=；（2）过 P 点作 BC 的平行线交AB,AC 与点 D， F。.由于 APD ATP= ADP，推出 ADAP又 BP+DPBP和 PF+FCPC又 DF=AF由可得：最大L 2；由（ 1）和（ 2）既得：L 2 。
