1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修1-11-2,圆锥曲线与方程,第三章,3.3导数在研究函数中的应用第2课时函数的极值与导数,第三章,结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.,重点：利用导数的知识求函数的极值难点：函数的极值与导数的关系.,新知导学,函数的极值与导数的关系,1如图是函数yf(x)的图象，在xa邻近的左侧f(x)单调递_，f (x)_0，右侧f(x)单调递_，f (x)_ 0，在xa邻近的函数值都比f(a)小，且f (a)_0.在xb邻近
2、情形恰好相反，图形上与a类似的点还有_ ，(e，f(e)，与b类似的点还有_ 我们把点a叫做函数f(x)的极_值点，f(a)是函数的一个极_值；把点b叫做函数f(x)的极_值点，f(b)是函数的一个极_值,增,减,(c，f(c),(d，f(d),大,大,小,小,2一般地，已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取得_，并把x0称为函数f(x)的一个_；如果都有_ ，则称函数f(x)在点x0处取得_，并把x0称为函数f(x)的一个_极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为_,f(x)f(x0),极小值,极小值点,
3、极值,极值点,3理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧_的点而言的(2)极值点是函数_的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若f(x)在定义域a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数_极值,附近,定义域内,没有,(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极_值(如图),大,牛刀小试1函数yx31的极大值是()A1B0C2 D不存在答案D解析y3x20在R上恒成立，函数yx31在R上是单调增函数，函数yx31无极值,答案A,3
4、对于函数f(x)x33x2，给出命题：f(x)是增函数，无极值；f(x)是减函数，无极值；f(x)的单调递增区间为(，0)，(2，)，单调递减区间为(0,2)；f(0)0是极大值，f(2)4是极小值其中正确的命题有()A1个 B2个C3个 D4个答案B,解析f (x)3x26x.令f (x)3x26x0，得x2或x0；令f (x)3x26x0，得0x0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3C6 D9答案D,分析首先对函数求导，然后求方程y0的根，再检查y在方程根左右的值的符号如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个
5、根处取得极小值,利用导数求函数的极值,方法规律总结1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f (x)在点x0的左、右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值,2利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域(2)求导数f (x)(3)解方程f (x)0得方程的根(4)利用方程f (x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号(5)确定函数的极值，如果f (x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)
6、值,设函数f(x)x3ax29x的导函数为f(x)，且f(2)15.(1)求函数f(x)的图象在x0处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解析(1)f(x)3x22ax9，f(2)15，124a915，a3.f(x)x33x29x，f(x)3x26x9，f(0)0，f(0)9，函数在x0处的切线方程为y9x.,分析f(x)在x1处的极小值为1包含以下的含义：一是f(1)1，二是f (1)0.,已知函数极值求参数,已知函数f(x)ax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的极小值,(2)f (x)18x218x18x(x1)当f (x)0时，x0或x1.当f
7、(x)0时，01.函数f(x)6x39x2的极小值为f(0)0.,图象信息问题,分析给出了yf(x)的图象，应观察图象找出使f (x)0与f (x)0的x的取值范围，并区分f (x)的符号由正到负和由负到正，再做判断答案,方法规律总结有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f (x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f (x)的图象，应先找出f (x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解,函数f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有一个极
8、大值点、两个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点答案C,解析设f (x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f (x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点.,分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用,解题思路探究第一步，审题审结论明确解题方向，求函数f(x)的单调区间与极值，需求f (x)，然后按单调性和极值与导数的关系求解；,审条件，发掘解题信息，f(x)是三次函数，f (x)是二次函数，由二次方程的根探求极值点和单调区间；f(x)解析式中含参数，应分类讨论第二步，建联系，找解题途径先求f (x)，解方程f (x)0找分界点，再按a的符号讨论单调性求极值第三步，规范解答,辨析根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，上述解法未验证x1时函数两侧的单调性，导致错误正解(在上述解法之后继续)当a1，b3时，f (x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；当a2，b9时，f (x)3x212x93(x1)(x3)当x3，1时，f(x)为减函数；当x1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1时取得极小值因此a2，b9.,
