1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,1.掌握空间两条直线间的位置关系,理解异面直线的定义中“不同在”的含义.2.知道两条异面直线所成角的意义,掌握两条直线垂直的含义.3.理解并掌握公理4和等角定理,并能解决有关问题.,1,2,3,4,5,1.异面直线(1)概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)图示:如图,为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面衬托.,1,2,3,4,5,【做一做1】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的棱是()A.ABB.BB1C.DD1D.B1C1解析:AA1BB1,AA1DD1,AA1AB=A,AA1与
2、B1C1是异面直线.答案:D,1,2,3,4,5,2.空间两条直线的位置关系,1,2,3,4,5,【做一做2】 不平行的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.相交或异面解析:由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面,则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面.答案:D,1,2,3,4,5,3.公理4,1,2,3,4,5,【做一做3】 如图,在正方体ABCD-ABCD中,E,F,E,F分别是AB,BC,AB,BC的中点,求证:EEFF.证明:在正方体ABCD-ABCD中,因为E,E分别是AB,AB的中点,所以BEBE,且BE=BE.所以四边形EBBE是平行四边形.所以EEBB.同
3、理可证FFBB,所以EEFF.,1,2,3,4,5,4.等角定理,1,2,3,4,5,归纳总结等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,当这两个角的两边方向分别相同或相反时,它们相等,否则它们互补.,1,2,3,4,5,【做一做4】 已知BAC=30,ABAB,ACAC,则BAC=()A.30B.150C.30或150D.60答案:C,1,2,3,4,5,5.两条异面直线所成的角(夹角)(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa,bb,我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).,名师点拨在定义中,空间一点O是任取的,根据等角定理,可以断定异面直
4、线所成的角与a,b所成的锐角(或直角)相等,而与点O的位置无关.异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量,是通过转化为相交直线所成的角来解决的.,1,2,3,4,5,(2)异面直线所成的角的范围:090.(3)两条异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作ab.【做一做5】 在长方体ABCD-ABCD中,与棱AA垂直且异面的棱有.答案:BC,BC,CD,CD,1,2,1.对异面直线的理解剖析:异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.要注意异面直线定义中“任何”两字,它指空间中的所有平面,因此异面直线也可以理解
5、为:如果a与b是异面直线,那么在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b这两条直线.,1,2,例如,在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB和B1C1所在的直线既不平行也不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线,则AB和B1C1是异面直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异面.有以下方法可以判断两条直线是异面直线:(1)定义法(直观判断法):由定义判断两条直线不可能在同一个平面内.或者用下面的结论:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.,1,2,用符号语言表示为:B,A,a,Aa,则a与直线AB为异面直
6、线.图形如图所示.(2)排除法:排除两条直线共面(平行或相交),则这两条直线是异面直线.,1,2,2.作出两条异面直线所成的角剖析:根据异面直线所成角的定义,通常在两条异面直线中的一条直线上取一点,然后作另一条直线的平行线即可.但是,在作辅助线之前最好观察图形,看看在所给的图形中,有没有满足定义的角,如果没有,再作辅助线.,1,2,例如,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB和B1C1是异面直线.由于ABA1B1,则A1B1C1就是它们所成的角,当然ABC也是它们所成的角;对于异面直线AD1和B1C来说,在图中就没有它们所成的角,这就需要作辅助线,连接BC1交B1C于点E,则
7、BC1AD1,故C1EC是异面直线AD1和B1C所成的角或其补角.很明显C1EC是等腰直角三角形,C1EC=90,即异面直线AD1和B1C所成的角为90.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,那么a与c有什么样的位置关系?并画图说明.解:直线a与c的位置关系有三种情况.直线a与c可能平行,如图;可能相交,如图;可能异面,如图.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用平面几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线
8、来判断.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是;(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是;(4)直线AB与直线B1C的位置关系是.,题型一,题型二,题型三,题型四,解析:对于(1),因为A1D1B1C1,B1C1BC,所以A1D1BC,即四边形A1D1CB为平行四边形,所以A1BD1C.对于(2),因为直线A1B平面A1B,B1平面A1B,且B1直线A1B,直线CB1平面A1B,所以直线A1B与直线CB1为异面直线.同理(4)中直线A
9、B与直线B1C也是异面直线;对于(3)直线D1D与直线D1C显然相交.答案:(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点.求证:BFED1.证明:如图,取BB1的中点G,连接GC1,GE.因为F为CC1的中点,所以BGC1F,且BG=C1F,即四边形BGC1F为平行四边形.所以BFGC1.又EGA1B1,A1B1C1D1,且EG=A1B1,A1B1=C1D1,所以EGC1D1,且EG=C1D1,即四边形EGC1D1为平行四边形.所以ED1GC1.所以BFED1.,题型一,题型二,题型三
10、,题型四,反思证明两条直线平行的方法:(1)平行线的定义;(2)三角形中位线、平行四边形的性质等;(3)公理4.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点,求证:BEC=B1E1C1.证明:如图,连接EE1.因为E,E1分别是AD,A1D1的中点,所以AEA1E1,且AE=A1E1,即四边形AEE1A1是平行四边形.所以AA1
11、EE1,且AA1=EE1.又AA1BB1,且AA1=BB1,所以EE1BB1,且EE1=BB1,即四边形BEE1B1是平行四边形.所以BEB1E1.同理可证CEC1E1.又BEC与B1E1C1的两边方向相同,所以BEC=B1E1C1.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在立体几何中,常利用等角定理来证明两个角相等,此时要注意观察这两个角的方向必须相同,且能证明它们的两边对应平行.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例4】 如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD,ABCD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角的大小.,题型一,题型二,题型三,题型
12、四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.求两条异面直线所成的角的一般步骤:(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出两条异面直线所成的角;(2)证:证明作出的角就是要求的角;(3)计算:寻找或作出含有此角的三角形,求解计算;(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.2.过一点作两条异面直线所成的角时,常把这个点取在其中一条直线上的特殊位置,或是图形的特殊点,这样可方便于求这个角的大小.3.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段,是解决立体几何问题最重要的辅助线.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD相交于点O,求直线OB1与A1C1所成的角的大小.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:如图,连接AB1,B1C,因为ACA1C1,所以B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角.因为AB1=B1C,O为AC的中点,所以B1OAC,即B1OC=90.故OB1与A1C1所成的角的大小为90.,
