1、第 1 页 共 3 页浅析高考题中求离心率的策略浅析高考题中求离心率的策略求圆锥曲线的离心率近几年来在高考中都有题目出现.为此，本文结合高考题，介绍求圆锥曲线的离心率的几种常用方法，以达到更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力.一、根据条件先求出 a，c，利用 e= 求解ca例 1若椭圆经过原点，且焦点为 F1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为( )A. B. C. D.34 23 12 14解析：由 F1、F 2 的坐标知 2c=31，c=1，又椭圆过原点，ac=1 ，a+c=3，a=2，c=1，所以离心率 e= = .故选 C.ca12例 2如果双曲线的
2、实半轴长为 2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为( )A. B. C. D232解析：由题设 a=2，2c=6，则 c=3，e = = ，因此选 Cca32二、根据圆锥曲线的统一定义求解例 3设椭圆 + 1 (ab0)的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1 且x2a2y2b2垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离，则椭圆的离心率是 .解析：如图1所示，AB是过F 1且垂直于x轴的弦，ADl 1于D，|AD|为F 1到准线l 1的距离，根据椭圆的第二定义，e= = = ，即 e= .故填 .|AF1|AD| 12 12 12三、构建关于 a，c 的齐次等式求解例 4设双曲线
3、1(02，43 c2a2 a2+b2a2 b2a2e 24，e2.故选 A.例 5双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1，F 2，F 1MF2120 ，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.3解析：如图 2 所示，不妨设 M(0，b)，F 1(-c，0)， F2(c，0)，则|MF 1|=|MF2|= .又|F 1F2|2c，c2+b2在F 1MF2 中，由余弦定理，得图 1图 2第 2 页 共 3 页cosF 1MF2 ，即 cos120 ，|MF1|2+|MF2|2 |F1F2|22|MF1|MF2| 12 ，b 2c 2a 2， ，3a 22c 2，e 2 ，e .故选b2
4、 c2b2 c2 12 a22c2 a2 12 32B.例 6双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )x2a2 y2b2A.2 B. C. D.3 232解析：由条件易知，双曲线为等轴双曲线，a=b，c= a，e .故选 C.2ca 2四、根据曲线方程列出含参数的关系式，求 e 的取值范围例 7设 (0， )，则二次曲线 x2cot y 2tan =1 的离心率的取值范围为( )4A.(0， ) B.( ， ) C.( ， ) D.( ，+)12 12 2 2解析：由 x2cot y 2tan =1， (0， )，得 a2tan ，b 2= 4cot ，c 2a 2+b2
5、tan + cot ，e 2 1+ cot2 ， (0 ， )，c2a2 tan + cottan 4cot 2 1，e 22，e .故选 D.2五、构建关于 e 的不等式，求 e 的取值范围例8如图，已知梯形ABCD中，AB2CD ，点E分有向线段 所成的比为，双AC 曲线过C 、D 、E三点，且以A、B为焦点当 时，求双曲线离心率e的取值范围23 34解析：以 AB 的垂直平分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立如图 3所示的直角坐标系 xOy，则 CDy 轴.因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知C、D 关于 y 轴对称依题意，记 A(c，0)，C( ，
6、h) ，E(x 0，y 0)，其中c2c= AB为双曲线的半焦距，h 是梯形的高12由定比分点坐标公式得 x 0 ，y 0 ( -2)c2(1+ ) h1+设双曲线的方程为 1，则离心率 e= . x2a2 y2b2 ca由点 C、E 在双曲线上，所以，将点 C 的坐标代入双曲线方程得 1，c24a2 h2b2将点 E 的坐标代入双曲线方程得 ( )2( )2 1 c24a2 21+ 1+ h2b2再将 e= 、得 1， 1 ， ( )2( )2 1 ca e24 h2b2 h2b2 e24 e24 21+ 11+ h2b2将式代入式，整理得 （44）12，1 e24 3e2+2图 3第 3 页 共 3 页由题设 得， 1 解得 e 23 34 23 3e2+2 34 7 10所以双曲线的离心率的取值范围为 ， 7 10
