1、1高考数学圆锥曲线重点题型回顾（06 北京卷文）椭圆21(,0)xyab的两个焦点 F1、F 2，点 P 在椭圆 C 上，且 P F1F 1F2,| P F1|= 34,| P F2|= .（I）求椭圆 C 的方程；（II）若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点，且 A、B 关于点 M 对称，求直线 L 的方程。解法一：() 因为点 P 在椭圆 C 上，所以 6221PFa，a=3.在 Rt PF1F2 中， ,521F故椭圆的半焦距 c= 5,从而 b2=a2c 2=4,所以椭圆 C 的方程为 492yx1.()设 A， B 的坐标分别为（ x1,y
2、1） 、 （x 2,y2）. 由圆的方程为（x+2） 2+(y1) 2=5,所以圆心M 的坐标为（2，1）. 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得 （ 4+9k2）x 2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因为 A， B 关于点 M 对称. 所以 .941821 解得 98k，所以直线 l 的方程为 ,)2(98xy 即 8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)解法二：() 同解法一.()已知圆的方程为（x +2） 2+(y1) 2=5,所以圆心 M 的坐标为（2，1）.设 A， B 的坐标分别为（x 1,y1）,( x2,y2).由题意
3、 x1x2 且,4921y,2x由得 .04)(9)( 21212121 yyx因为 A、 B 关于点 M 对称，所以 x1+ x2=4, y 1+ y2=2,代入得 21xy 8，即直线 l 的斜率为 8，所以直线 l 的方程为 y1 9（x+2） ，即 8x9y+25=0.( 经检验，所求直线方程符合题意.)2（2009 北京理） （本小题共 14 分）已知双曲线2:1(0,)xyCab的离心率为 3，右准线方程为 3x（）求双曲线 的方程；（）设直线 l是圆 2:Oxy上动点 00(,)Pxy处的切线， l与双曲线交于不同的两点 ,AB，证明 的大小为定值.【解法 1】本题主要考查双曲线
4、的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得23ac，解得 1,3ac， 22bc，所求双曲线 C的方程为21yx.（）点 00,Pxy在圆 2xy上，圆在点 0,处的切线方程为 0x，化简得 02xy.由201xy及 20xy得 22000348xx，切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 20x， 2034x，且 220016438x，设 A、B 两点的坐标分别为 12,y，则 0012128,3434xxx， cosOBA，且312120102OABxyxxy ，21201012042200222000883
5、34xx22004x. AOB的大小为 9.【解法 2】 （）同解法 1.（）点 00,Pxy在圆 2xy上，圆在点 0,处的切线方程为 0x，化简得 02xy.由201yx及 20y得2200348xyx切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 20x， 2034x，设 A、B 两点的坐标分别为 12,y，则220012188,34xy， 12OABx， AOB的大小为 90.（ 20y且 0， 220,xy，从而当2034x时，方程和方程的判别式均大于零）.（07 宁夏理 19） （本小题满分 12 分）4在平面直角坐标系 xOy中，经过点 (02)， 且斜率为 k的直线 l与椭圆
6、21xy有两个不同的交点 P和 Q（I）求 k的取值范围；（II）设椭圆与 x轴正半轴、 y轴正半轴的交点分别为 AB， ，是否存在常数 k，使得向量O与 AB共线？如果存在，求 k值；如果不存在，请说明理由解：（）由已知条件，直线 l的方程为 2x，代入椭圆方程得22()1xk整理得 210 直线 l与椭圆有两个不同的交点 P和 Q等价于 221840kk，解得 2k或 k即 k的取值范围为 ， （）设 12()()Pxy，则 1212()OPxy，由方程， 1224k 又 1212()ykx 而 0)(1)ABA，所以 OPQ与 共线等价于 212()xy，将代入上式，解得 k由（）知 2
7、或 ，故没有符合题意的常数 k（07 天津文 22） （本小题满分 14 分）设椭圆21(0)xyab的左、右焦点分别为512FA，是椭圆上的一点， 21AF，原点 O到直线 1AF的距离为 13O（）证明 ab；（）求 (0)t， 使得下述命题成立：设圆 22xyt上任意点 0()Mxy， 处的切线交椭圆于 1Q， 2两点，则 12OQ本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分 14分（）证法一：由题设 21AF及 (0)c， ， 2()F， ，不妨设点 ()Acy， ，其中0y，由于点
8、 在椭圆上，有2yab，221ab，解得2y，从而得到2bAca，直线 2AF的方程为2()yxc，整理得0bxac由题设，原点 O到直线 1AF的距离为 13O，即243cbac，将 22代入原式并化简得 2ab，即 2b证法二：同证法一，得到点 A的坐标为2c，过点 O作 1BF，垂足为 H，易知 112FBCA ，故21A由椭圆定义得 12Fa，又 13BOF，所以AO1F2Hxy62213FAa，解得 2，而2ba，得2，即 2ab（）解法一：圆 22xyt上的任意点 0()Mxy， 处的切线方程为 20xyt当 (0)tb， 时，圆 上的任意点都在椭圆内，故此圆在点 A处的切线必交椭
9、圆于两个不同的点 1Q和 2，因此点 1()xy， ， 2()Qxy， 的坐标是方程组202xytb 的解当 0时，由式得0ty代入式，得220txby，即2242000()xytt，于是 1220xy，4201tbyx12120ttyA42210120()txx24242000201ttbytyxyx 420tbx若 12OQ，则 424242200012 3()tbytxtbxyxyx所以， 42203()t由 220yt，得 42tt在区间 (0)b， 内此7方程的解为 63tb当 0y时，必有 0x，同理求得在区间 (0)b， 内的解为 63tb另一方面，当 63tb时，可推出 12x
10、y，从而 12OQ综上所述， (0)t， 使得所述命题成立（08 辽宁卷 20） （本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy中，点 P 到两点 (03)， ， ()， 的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 1k与 C 交于 A，B 两点（）写出 C 的方程；（）若 A，求 k 的值；（）若点 A 在第一象限，证明：当 k0 时，恒有| OA| B|20本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 12 分解：（）设 P（x ，y ） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (03)(，为焦点，长半轴为
11、2 的椭圆它的短半轴 22(3)1b，故曲线 C 的方程为214yx 3 分（）设 12()()AB，其坐标满足24.yxk，消去 y 并整理得 2(4)30xk，故 12124xk， 5 分若 OAB，即 xy8而 21112()ykxx，于是2122231044k，化简得 40k，所以 8 分（）2221()OABxy221()4x123()x264k因为 A 在第一象限，故 10x由 1234xk知 20x，从而 120x又 k，故2OB，即在题设条件下，恒有 OAB 12 分（07 辽宁理 20） （本小题满分 14 分）已知正三角形 的三个顶点都在抛物线 2yx上，其中 O为坐标原点
12、，设圆 C是OAB的内接圆（点 C为圆心）（I）求圆 的方程；（II）设圆 M的方程为 22(47cos)(7cos)1xy，过圆 M上任意一点 P分别作圆 的两条切线 PEF， ，切点为 E， ，求 CF，的最大值和最小值本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 14 分（I）解法一：设 AB， 两点坐标分别为21y，2y，由题设知22221111()yy解得 21，所以 (63)A， ， (23)B， 或 (623)A， ， (6)B， 9设圆心 C的坐标为 (0)r， ，则 2643，所以圆 C的方程为2(4)16xy 4
13、分解法二：设 AB， 两点坐标分别为 1()xy， ， 2()， ，由题设知221xy又因为 1x， 2y，可得 221xx即122()0x由 0， ，可知 12x，故 AB， 两点关于 x轴对称，所以圆心 C在 x轴上设 C点的坐标为 ()r， ，则 点坐标为 3r， ，于是有23rr，解得4r，所以圆 的方程为 2(4)16xy 4 分（II）解：设 EFa，则 2|coss3cosCAA 8 分在 RtP 中， 4|xPC，由圆的几何性质得|17M 8， |176M ，所以 2cos3 ，由此可得689CEFA 则 的最大值为 1，最小值为 8（2009 全国卷理） （本小题满分 12
14、分）已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为 3，过右焦点 F 的直线 l与 C相交于 A、 B两点，当 l的斜率为 1 时，坐标原点 O到 l的距离为 2 （I）求 a， b的值；（II） C上是否存在点 P，使得当 l绕 F 转到某一位置时，有 POAB成立？10若存在，求出所有的 P 的坐标与 l的方程；若不存在，说明理由。解:(I）设 (,0)Fc，直线 :0lxyc，由坐标原点 O到 l的距离为 2则 |2，解得 1.又 3,eab.（II）由(I）知椭圆的方程为2:3xyC.设 1(,)Axy、 B2(,)xy由题意知 l的斜率为一定不为 0，故不妨设 :lm代入椭圆的方程中整理得
15、 2()40my，显然 。由韦达定理有： 122,3y122,3 .假设存在点 P，使 OAB成立，则其充要条件为：点 12(,)xy的 坐 标 为 ，点 P 在椭圆上，即2211()()3xy。整理得 221 12346xy。 又 AB、 在椭圆上，即 13,y.故 120xy 将 22112()()mymy及代入解得 21m12y或, 12x= 243,即 (,)P.当 3,(),:1Ply时 ;当 22,(),:mlx时 .评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算” ，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因, 一个是表
16、,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。 例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。11（08 天津卷 22） （本小题满分 14 分）已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 0,31F，一条渐近线的方程是 025yx（）求双曲线 C 的方程；（）若以 k为斜率的直线 l与双曲线 C 相交于两个不同的点 M，N，且线段 MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 281，求 k的取值范围（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线
17、方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分 14 分（）解：设双曲线 C的方程为21xyab（ 0,ab） 由题设得295ab，解得245b，所以双曲线方程为2145xy（）解：设直线 l的方程为 ykm（ 0） 点 1(,)Mxy， 2(,)Ny的坐标满足方程组 2145x将式代入式，得22()xkm，整理得 22(54)840kxm此方程有两个一等实根，于是 2504，且 22(8)4()kmk整理得 22540k 由根与系数的关系可知线段 MN的中点坐标 0(,)xy满足120254xk， 0254myxk从而线段 的
18、垂直平分线方程为 214()5kx此直线与 x轴， y轴的交点坐标分别为 29(,0)5k， 9,由题设可得221981|54kmk整理得 4|m， 12将上式代入式得22(54)0|k，整理得 22(45)|5)0kk，0k解得 |2或 |4k所以 k的取值范围是 55,)(,0)(,)(,)24(（2009 天津卷文） （本小题满分 14 分）已知椭圆 12byax（ 0a）的两个焦点分别为 )0(,)0,(21cFc，过点)0,(2cE的直线与椭圆相交于点 A,B 两点，且 |,/2121BAF（求椭圆的离心率（）直线 AB 的斜率；（）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 B2上
19、有一点 H(m,n)( 0m)在AF1的外接圆上，求 mn的值。【答案】 （1） 3ace（2） 3k（3） 5mn【解析】 （1）解：由 |,/2121BFAF，得 21|12AFBE,从而22ca，整理得 23ca，故离心率 3ace（2）解：由（1）知， 22b，所以椭圆的方程可以写为263cyx设直线 AB 的方程为 )(2caxky即 )3(cxky由已知设 ),(),21BxA则它们的坐标满足方程组 226)3(cyxk21 世纪教育网 13消去 y 整理，得 062718)32( 22 ckcxk依题意， 3,0482c而 22121 67,3kcxkx，有题设知，点 B 为线段
20、 AE 的中点，所以 213c联立三式，解得 2221 39,39kcxkcx，将结果代入韦达定理中解得32k(3)由（2）知， 23,01cx，当 32k时，得 A )2,0(c由已知得),0(cC线段 1AF的垂直平分线 l 的方程为 ),2(2cxcy直线 l 与 x 轴的交点)0,2(c是 1的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 2)(cy直线 B2的方程为 )(2cxy，于是点 ),(nmH满足方程组)(492cmn由 0，解得 2,35c，故 52当 32k时，同理可得 52n【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。
