1、初二数学竞赛辅导资料(15)231003、人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远普希金初二数学竞赛辅导资料（15）勾股定理内容提要1勾股定理及逆定理：ABC 中 CRta2b2=c22勾股定理及逆定理的应用 作已知线段 a 的， ， 倍 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 证明线段的平方关系等3勾股数的定义：如果三个正整数 a，b，c 满足等式 a2b2=c2，那么这三个正整数 a，b，c 叫做一组勾股数.4勾股数的推算公式 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家 17891853）任取两个正整数 m 和 n(mn)，那么 m2-n2，2mn， m2+n2 是一组勾股数 如果 k 是大
2、于 1 的奇数，那么 k， ，是一组勾股数 如果 k 是大于 2 的偶数，那么 k， ，是一组勾股数 如果 a，b，c 是勾股数，那么 na， nb， nc (n 是正整数)也是勾股数5熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41例题例 1.已知线段 a a a 2a 3a a 求作线段 a a 分析一：a 2a a 是以 2a 和 a 为两条直角边的直角三角形的斜边分析二：aa 是以 3a 为斜边，以 2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边作图（略）例 2.四边形 ABCD 中DAB60，B
3、DRt，BC1，CD2求对角线 AC 的长 解：延长 BC 和 AD 相交于 E，则E30 CE2CD4， 在 RtABE 中 设 AB 为 x，则 AE2x 根据勾股定理 x2+52=(2x)2， x2= 在 RtABC 中，AC例 3.已知ABC 中，ABAC，B2A求证：AB2BC2ABBC 证明：作B 的平分线交 AC 于 D， 则AABD， BDC2ACADBDBC 作 BMAC 于 M，则 CMDM AB2BC2（BM2AM2）（BM2CM2） AM2CM2（AMCM） （AMCM） ACADABBC例 4.如图已知ABC 中，ADBC，ABCDACBD求证：ABAC 证明：设 A
4、B，AC，BD，CD 分别为 b，c，m，n 则 c+n=b+m， c-b=m-n ADBC，根据勾股定理，得 AD2c2-m2=b2-n2 c2-b2=m2-n2， (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)(c+b)(c-b) =(m+n)(c-b) (c+b)(c-b) (m+n)(c-b)0(c-b)(c+b)(m+n)0c+bm+n， c-b=0 即 c=bABAC例 5.已知梯形 ABCD 中，ABCD，ADBC求证：ACBD证明：作 DEAC，DFBC，交 BA 或延长线于点 E、FACDE 和 BCDF 都是平行四边形DEAC，DFBC，AECDBF 作 DHAB 于 H，根据
5、勾股定理 AH，FH ADBC，ADDF AHFH，EHBH DE，BDDEBD即 ACBD例 6.已知：正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 EFGH 内接于ABCD，AEa，AFb，且 SEFGH求：的值（2001 年希望杯数学邀请赛，初二）解：根据勾股定理 a2+b2=EF2SEFGH ; 4SAEFSABCDSEFGH 2ab= 得 （a-b）2= 练习1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数： 7， 8， 9，10， 11， 12，2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值： 252242， 52122，3. ABC 中，AB25，BC20，CA15，CM 和 CH 分别是中线和高那
6、么 SABC，CH，MH4. 梯形两底长分别是 3 和 7，两对角线长分别是 6 和 8，则 S 梯形5.已知：ABC 中，AD 是高，BEAB，BECD，CFAC，CFBD求证：AEAF6.已知：M 是ABC 内的一点，MDBC，MEAC，MFAB，且 BDBF，CDCE 求证：AEAF 7.在ABC 中，C 是钝角，a2-b2=bc 求证A2B8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数 （用反证法）9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10 等腰直角三角形 ABC 斜边上一点 P，求证：AP2BP22CP211.已知ABC 中，ARt，M 是 BC 的中点，E，F 分别在 AB，ACMEMF求证：EF2BE2CF212.RtABC 中，ABC90，C60，BC2，D 是 AC 的中点，从D 作 DEAC 与 CB 的延长线交于点 E，以 AB、BE 为邻边作矩形ABEF，连结 DF，则 DF 的长是 （2002 年希望杯数学邀请赛，初二试题）13.ABC 中，ABAC2，BC 边上有 100 个不同的点p1，p2，p3，.p100，记 mi=APi2+BPiPiC (I=1，2，100)，则m1+m2+.m100=_(1990 年全国初中数学联赛题) ?3、人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远普希金
