1、线性代数模拟题 一、 填空（ 3 5）。 1、 设 () = | x211 2x32 32x1 01xx |,则 ()中常数项为（） ,项的系数为（） 。 2、 若 A 为五阶方阵，且 A=3，则 AAT=（），（ A*） *=（）， 2A-1-A*=（） 3、 设 A= ， r（ A*） =1，则 a,b 关系为（）。 4、设 A 是 n 阶矩阵，对于其次线性方程组 AX=0，如 A中每行元素之 和全部为零，且 r(A)=n-1,则方程组的通解是（）。 5、 A与 B 有相同的特征值是 AB 的（）条件 。 二、选择 （ 3 5） 。 6、 已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都
2、等于 a，则 D=（） （ A） 0 （ B） a2 （ C） -a2 （ D） na2 7、已知 A， B 均为 n 阶矩阵，满足 AB=0，若 r（ A） =n-2，则（） （ A） r（ B） =2 （ B） r（ B） 2 （ C） r（ B） =1 8、要使 1= 1 0 2 2= 0 1 1 都是线性方程组的解，只要系数矩阵 A 为（） （ A） 2 1 14 2 2（ B） 2 0 10 1 1 （ C） 1 0 21 0 2（ D） 0 1 1 4 2 2 0 1 1 9、设 A 为 m*n 矩阵，线性方程组 AX=B 对应的导出组为 AX=0，则下 列结论中正确的是（） （
3、A）若 AX=0 仅有零解，则 AX=B 有唯一解 （ B）若 AX=0 有非零解，则 AX=B 有无穷多解 （ C）若 AX=B 有无穷多解，则 AX=0 有非零解 （ D）若 AX=B 有无穷多解，则 AX=0 仅有零解 10、设 A 是三阶矩阵， A， A+I， I-2A 均不可逆，则 A 的三个 特征值 是（） （ A） 0， 1， 2 （ B） 0， -1， 2 （ C） 0， -1， 1/2 （ D） 0， 1， -1/2 二、 判断（ 2 5）。 11、每行元素之和为零的行列式值为零 。 （ ） 12 、若 A ， B ， C 都是 n 阶 方 阵 ， 则 （ ABC ） k=A
4、kBkCk. （ ） 13、设 n阶方阵 A经过若干次初等变换后变成 B，则 |A|=|B|. （ ） 14、向量组 1 2 s 的秩不为零的充分必要条件是 1 2 s 中 至 少 有 一 个 非 零 向 量 。 （ ） 15、 设 A 为 n 阶可逆方阵，则 A 的对应于 的特征向量也是 A-1对应 于 1 的特征向量 。 （ ） 三、 计算（ 10 5）。 16、解矩阵方程 X 1 1 1 0 2 2 1 1 0 = 1 1 1 1 1 0 2 1 1 17、已知三阶矩阵 A= 1 0 1 2 1 1 2 1 ， B 是秩为 2 的三阶方阵，且 r （ AB） =1,求 t. 18、判断能
5、否由向量组 1， 2， 3线性标出，若能，写出它的一 种表示方式。 =（ 2， -30,13， -26） 1=（ 3， -5， 2， -4） 2=（ -1， 7， -3， 6） 3=（ 3， 11， -5， 10） 19、求其次线性方程组 21 52 + 3 34 = 0 31 + 42 23 + 4 = 0 1 + 22 3 + 34 = 0 21 + 152 63 + 134 = 0 的一个基础解 系 。 20、 求 1 0 0 0 1 0 0 0 1 的特征值和特征向量 。 五、证明（ 10 1）。 21、证明线性方程组 x1-x2=a1 x2-x3=a2 x3-x4=a3 x4- x5
6、=a4 x5 -x1=a5 有解的充分必要条件是 a1+a2+a3+a4+a5=0，并在有解的情况下，求出它 的一般解。 线性代数模拟题答案 一、 填空 1、 5； 1 2、 9； 316； 13 3、 a+2b=0 且 a b 4、 k（ 1,1， ， 1） T 5、必要 二、 选择 ACACC 三、 判断 四、 计算 16 、由于 | 1 1 1 0 2 2 1 1 0 | =6 0 ，故 1 1 1 0 2 2 1 1 0 可逆 ，故 X= 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 0 2 2 1 1 0 1 1 1 1 0 2 2 1 1 0 | 1 0 0 0 1 0 0 0
7、1 1 1 1 0 2 2 0 2 1 | 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 2 2 0 0 3 | 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 2 2 0 0 1 | 1 0 0 0 1 0 13 13 13 1 1 0 0 2 0 0 0 1 | 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 13 13 13 1 1 0 0 1 0 0 0 1 | 2 3 1 3 1 3 1 3 1 6 1 3 13 13 13 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | 1 3 1 6 2 3 1 3 1 6 1 3 13 13 13 因此 ， 1 1 1 0 2 2 1 1 0
8、 1 = 1 3 1 6 2 3 1 3 1 6 1 3 13 13 13 ， 所以 X= 1 1 1 1 1 0 2 1 1 1 3 1 6 2 3 1 3 1 6 1 3 13 13 13 = 1 3 1 3 4 3 2 3 1 3 1 3 2 3 5 6 4 3 17、 解：若 r(A)=3,则 A可逆，于是 A=P1 PS， Pi为初等矩阵，（ i=1, ,s） AB= P1 PSB,由于初等变换不改变秩，故 r(B)= r(P1 PSB)= r(AB)，而 r(B)=2 与已知 r(AB)=1 矛盾，因此 r(A) 3,所以 |=0， | 1 0 1 2 1 1 2 1 |=0， 2
9、t-6=0， t=3. 18、 ( 1T 2T 3T T)= 3 1 3 5 7 11 2 3 5 4 6 10 | 2 30 13 26 3 1 3 5 7 11 2 3 5 1 1 1 | 2 30 13 4 1 1 1 5 7 11 2 3 5 3 1 3 | 4 30 13 2 1 1 1 0 2 6 0 1 3 0 2 6 | 4 10 5 10 1 1 1 0 1 3 0 0 0 0 0 0 | 4 5 0 0 1 0 2 0 1 3 0 0 0 0 0 0 | 1 5 0 0 因为 r( 1T 2T 3T T)= r( 1T 2T 3T),所以 可由 1， 2， 3线性表出，并且
10、由以上初等变换知： k1=-1-2k3,k2=-5-3k3, 因此表示方式不唯一 若令 k3=1,得 k1=-3,k2=-8,则 =-3 1-8 2+ 3 若令 k3=0,得 k1=-1,k2=-5,则 =- 1-5 2 19 、 （ AO ） = 2 5 1 3 3 4 2 1 1 2 1 3 2 15 6 13 | 0 0 0 0 1 2 1 3 3 4 2 1 2 5 1 3 2 15 6 13 | 0 0 0 0 1 2 1 3 0 10 5 10 0 9 3 9 0 19 8 19 | 0 0 0 0 1 2 1 3 0 2 1 2 0 0 32 32 0 0 32 0 | 0 0
11、0 0 1 2 1 30 2 1 2 0 0 1 32 0 0 0 0 | 0 0 0 0 1 2 0 3 0 2 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 | 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 | 0 0 0 0 所以 1 = 4 2 = 4 3 = 0 ， 令 4=1，得基础解系 =( 1 1 0 1 ) 20、 | |=| 0 0 0 0 0 0 |= n=0 特征值为 1 = 2 = = = 0 =0,所有非零的 n 维向量都是 A 的向量。 五、证明。 21 、 证明： （ AB ） = 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
12、1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 | 1 2 3 4 5 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 | 1 2 3 4 1 + 5 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 | 1 2 3 4 1+2 + 5 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 | 1 2 3 4 1+2+3 + 5 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 | 1 2 3 4 1+2+3+4 + 5 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 | 1+2+3+4 2+3+4 3+4 4 1+2+3+4 + 5 所以该线性方程组有解的 充要条件 为 1+2+3+4 + 5=0 一般解为 1 = 1+2+3+4 + 2 = 2+3+4 + 3 = 3+4 + 4 = 4 + 5 =
