1、三、解答题26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k0，求证：PAPB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.解：（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点，所以（2）直线
2、PA的方程解得于是直线AC的斜率为（3）解法一：将直线PA的方程代入则故直线AB的斜率为其方程为解得.于是直线PB的斜率因此解法二：设.设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而因此28.（北京理19） 已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.（19）（共14分）解：（）由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为（）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当时，所以.因为且当时，|AB
3、|=2，所以|AB|的最大值为2.32.（湖南理21） 如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。（）求C1，C2的方程；（）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E（i）证明：MDME;（ii）记MAB,MDE的面积分别是问：是否存在直线l,使得?请说明理由。解 ：（）由题意知故C1，C2的方程分别为（）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.由得.设是上述方程的两个实根，于是又点M的坐标为（0，1），所以故MAMB，即MDME.（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A
4、的坐标为.又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为于是由得解得则点D的坐标为又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是.因此由题意知，又由点A、B的坐标可知，故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为34.（全国大纲理21） 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足（）证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上解：（I）F（0，1），的方程为，代入并化简得2分设则由题意得所以点P的坐标为经验证，点P的坐标为满足方程故点P在椭圆C上。6分 （II）由和题设知， PQ的垂直平分线的方程为设AB的中
5、点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为由、得的交点为。9分故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上12分36.（山东理22） 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由.（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此又因为所以由、得此时 （2）当直线的斜率存在
6、时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即（*）又所以因为点O到直线的距离为所以又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。 （II）解法一： （1）当直线的斜率存在时，由（I）知因此 （2）当直线的斜率存在时，由（I）知所以 所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得|OM|PQ|的最大值为解法二：因为 所以即当且仅当时等号成立。因此 |OM|PQ|的最大值为 （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得证明：假设存在，由（I）得因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.40.（天津理1
7、8）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I）解：设 由题意，可得即整理得（舍），或所以（II）解：由（I）知可得椭圆方程为直线PF2方程为A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得解得 得方程组的解不妨设设点M的坐标为，由于是由即，化简得将所以因此，点M的轨迹方程是42.（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为 （）求该椭圆的标准方程； （）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为 （II）设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为
