1、习题三：l 证明：e是连通图G的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意uV1及vV2, G中的路（u，v）必含e.证明：充分性: e是G的割边，故G-e至少含有两个连通分支，设V1是其中一个连通分支的顶点集，V2是其余分支的顶点集，对，因为G中的u,v不连通，而在G中u与v连通，所以e在每一条(u,v)路上，G中的(u,v)必含e。必要性：取，由假设G中所有(u,v)路均含有边e，从而在G-e中不存在从u与到v的路，这表明G不连通，所以e是割边。l 3.设G是阶大于2的连通图，证明下列命题等价：（1） G是块（2） G无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上；（3） G无
2、环且任意三个不同点都位于同一条路上。（1）（2）： G是块，任取G的一点u，一边e，在e边插入一点v，使得e成为两条边，由此得到新图G1，显然G1的是阶数大于3的块，由定理，G中的u,v位于同一个圈上，于是G1中u与边e都位于同一个圈上。 （2）（3）：G无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G的点u，边e，若u在e上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u不在e上，由定理，e的两点在同一个闭路上，在e边插入一个点v，由此得到新图G1，显然G1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 （3）（1）：G连通，若G不是块，则G中存在着割点u，划分为不同的子集块V
3、1, V2, V1, V2无环，点u在每一条(x,y)的路上，则与已知矛盾，G是块。l 7.证明：若v是简单图G的一个割点，则v不是补图G的割点。证明：v是单图G的割点，则G-v有两个连通分支。现任取x,yV(G-v), 如果x,y不在G-v的同一分支中，令u是与x,y处于不同分支的点，那么，x,与y在G-v的补图中连通。若x,y在G-v的同一分支中，则它们在G-v的补图中邻接。所以，若v是G的割点，则v不是补图的割点。l 12.对图320给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。解： 最小点割 6,8 最小边割（6,5），（8,5） 最小点割6,7,8,9,10 最小边割（2,7）（1,6）l 13.设H是连通图G的子图，举例说明：有可能k(H) k(G).解：通常kHk(G).
