1、工程数学（数值计算）习题课 例15-1 求的Newton迭代法格式为： ，收敛阶为： 。 解（1），（2）收敛阶为： 1（线性收敛） 。 例15-2 下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给出一个收敛的迭代格式。 （1）x=(cosx+sinx)/4； （2）x=42x 解：（1）能 （2）不能 例21 设f(x)=(x3a)2， （1）写出解f(x)=0的Newton迭代格式； （2）证明此迭代格式是线性收敛的。 解： （1）因f(x)=(x3-a)2，故f(x)=6x2(x3-a)。 由Newton迭代公式： 得： （2）上述迭代格式对应的迭代函数为
2、，于是， 又，则有且，故此迭代格式是线性收敛的。 例22 用牛顿法求f(x)=x33x1=0在x0=2附近的根，要求有四位有效数字（准确解是x=1.87938524）。 解：因为f(x)=x33x1=0，所以f(x)=3x23 由牛顿公式可得： 取初值x0=2，计算结果见下表： 故f(x)=x33x1=0的根近似值为x1.879。 例25 用快速弦截法求x33x1=0在x0=2附近的实根，设取x1=1.9，算到四位有效数字为止。 解：设f(x)=x33x1，由快速弦截公式： 即： 取x0=2，x1=1.9计算结果见下表： 故f(x)=x33x1=0的根近似值为x1.879。 例32 给出数据点
3、： （1）用构造二次Lagrange插值多项式L2(x)，并计算x=1.5的近似值。 解：（1）由Lagrange插值得： 于是： 例33 已知f(0)=1，f(1)=2，f(2)=4，求f(x)的二次插值多项式。 解： 例38 给定正弦函数表如下：x0.40.50.60.7sinx0.389420.479430.564640.64422用二次插值求sin0.57891的近似值。 解：用二次插值选取x0=0.5，x1=0.6，x2=0.7，按抛物线插值公式有： 计算得：sin0.578910.54714，（准确值sin0.57891=0.547111） 例40 已知函数e-x的下列数据用逐步插
4、值方法求x=0.2的值。 解：当x=0.2，按逐步插值公式 计算结果见下表： 故e-0.20.81873，（准确值0.818731） 例48-1 计算积分，取4位有效数字，用梯形公式求得的近似值为：（ 0.9571 ） ；梯形公式的代数精度为：（ 1 ） 。 例49 证明求积公式的代数精度是3。 50 Find the constants andso that the quadrature formula （求积公式） has the highest possible degree of precision (代数精度).Solution. Making hold for each gives
5、 Solving the equations for and yields and.Since , we see that the quadrature formula has the degree of precision 2. 例53 分别用梯形公式和辛卜生公式计算积分，（n=8），并比较结果。 解：由复化梯形公式：和复化辛卜生公式： 则， 所以， 计算结果见下表： 注释：的精确解为。 例57 用龙贝方法求积分要求误差10-5。 解：按公式 再按公式计算，结果见下表： 即： 故：（准确值为0842701） 例62 取步长h=0.1用改进的欧拉格式解初值问题试将计算结果与准确解相比较。 解：
6、改进的欧拉格式是： 计算结果见下表： 本问题有解析解：y=2ex-x-1，按此解析式子算出的值列在上表的第6列，以便和改进欧拉计算结果作比较。 此题也可按整理后的格式（只有3次乘法）yi+1=0.055xi+0.05xi+1+1.105yi计算。 例63 Use Eulers method to approximate the solution for the initial-value problem：with . Solution The Eulers scheme is given by Using gives 例65 取步长h=0.2用四阶龙格-库塔格式求解 解：四阶龙格-库塔格式是：yi+1=yi+0.2(K1+2K2+2K3+K4)/6其中：K1=3yi/(1+xi)，K2=3(yi+0.1K1)/(1.1+xi)，K3=3(yi+0.1K2)/(1.1+xi)，K4=3(yi+0.2K3)/(1.2+xi)。 计算结果见下表： 例71 用塞德尔迭代法（迭代五次）解方程组并与准确解x1=1，x2=2，x3=3，x4=4相比较。 解：收敛的塞德尔迭代格式为： 取初始值：， 计算结果见下表： 例75 用Gauss消去法解方程组： 解：用Gauss消去法求解如下表： 故方程组的解为：x=-2.6，y=1，z=2。
