1、第五讲 平面的投影,平面的表示方法,几何元素表示法,2. 迹线表示法,不在同一直线上的三个点,直线及直线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,用几何元素表示,用迹线表示,迹线： 平面与投影面的交线。,平面与V、H、W面的交线分别称为正面迹线PV 、水平迹线PH、侧面迹线PW。,平面的投影特性, 平面对一个投影面的投影特性,平面平行于投影面 - 投影反映实形,平面垂直于投影面 - 投影为一条直线,平面倾斜于投影面 - 投影为一类似图形,实形性,积聚性,类似性,2.平面在三投影面体系中的投影特性,平面在三投影面体系中的位置：三类七种面,（1）投影面垂直面,（2）投影面平行面,（3）一般位置平面
2、,平行于一个投影面，垂直于另外两个投影面,与三个投影面都倾斜,垂直于一个投影面，倾斜于另外两个投影面,正垂面：垂直于V面，与H、W面倾斜,铅垂面：垂直于H面，倾斜于V、W面,侧垂面：垂直于W面，倾斜于V、H面,总结：投影面垂直面的投影特性,1、在其所垂直的投影面上的投影为一倾斜的直线（积聚性），与投影轴的夹角反映空间平面对投影面的实际倾角；,2、另外两个投影不反映实形，为类似形。,正平面：平行V面，与H面、W面垂直,水平面：平行于H面，与V、W面垂直,侧平面：平行于W面，与V、H面垂直,总结：投影面平行面的投影特性,1、在其所平行的投影面上的投影反映实形（真实性） 2、另外两个投影积聚为平行于
3、相应投影轴的直线。,一般位置平面,投影特性：三个投影都为缩小的类似形；,2. 三个投影都不能反映、的真实大小。,平面上的直线和点,1. 平面上取直线,判断直线在平面上的方法：,定理一：若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。,定理二： 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线必在该平面内。,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。,例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10cm。,n,m,n,m,唯一解！,2. 平面上取点,定理：若点在平面上
4、，则该点必在平面内的一条直线上。,面上取点的方法：在平面内作辅助线法,先找出过此点而又在平面的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,通过在面内作辅助线求解,例2 已知平面 ABC，试判断点D是否属于该平面。,e,e,k,b,例3：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,第六讲 几何元素之间的相对位置,相对位置包括：平行、相交、垂直,一、平行问题,直线与平面平行,平面与平面平行,包括,1. 直线与平面平行,定 理 若直线平行于平面内一直线，则该直线与此平面必相互平行。 反之，若直线平行于平面，则在该平
5、面内必可作一直线与该直线平行。,例题：过点K作直线平行已知平面。,m,m,n,n,可作多少条直线？,d,d,无数条,正平线,例题：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,例题： 试判断直线AB是否平行于给定平面,结论：直线AB不平行于给定平面,2. 平面与平面平行,定 理 1若一平面内的两相交直线对应平行于另一平面内的两相交直线，则该两平面平行。,例题1 ：判别平面ABC和DEF是否相互平行,X,m,n,o,n,m,f m b c ,f n a c ,步骤,步骤,求 fm 和 fn,结论, fm bc fn ac, FM BC FN AC,ABC DE
6、F,例题2：试判断两平面是否平行,结论：两平面平行,例题3：已知给定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 。,定 理 2 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必然相互平行。,直线与平面相交,平面与平面相交,包括,二、相交问题,1. 直线与平面相交,直线与平面相交，必交于一点，它是直线和平面的共有点。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面为特殊位置,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可 见性。,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。, 求 交点, 判别可 见性,由水平投影可知
7、，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作图,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。, 求交点, 判别可见性,点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2为不可见。,1(2),作 图,用面上取点法,例题：求铅垂线MN和平面ABC的交点，并判别可见性。,（3）直线与平面都处于一般位置,（1）包含直线AB作辅助面R,Rv,Rx,RH,（2）求辅助面R与面DEF的交线MN,m,n,m,n,（3）求出MN与直线AB的交点K,k,k,(4)
8、判 别 投 影 的 可 见 性,3(4),3,4,1(2),2,1, 平面与平面相交,两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。,要讨论的问题：, 求两平面的交线,方法：, 确定两平面的两个共有点。, 确定一个共有点及交线的方向。,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。, 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。, 求
9、交线, 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。,能!,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,b,c,f,h,a,e,a,b,c,e,f,h,1(2),空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m 、 b c与f h的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。, 求交线, 判别可见性,点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。,作 图,小 结,重点掌握：,二、如何在平面上确定直线和点。,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的两组相交直线对应平行。,四、直线与平面
10、的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。,解题思路：,空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性。,要 点,一、各种位置平面的投影特性, 一般位置平面, 投影面垂直面, 投影面平行面,三个投影为边数相等的类似多边形类似性。,在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。另外两个投影类似。,在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。 另外两个投影积聚为直线。,二、平面上的点与直线,三、平行问题, 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。, 两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。,四、相交问题, 求直线与平面的交点的方法, 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。, 投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。, 求两平面的交线的方法, 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置， 有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。, 一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。,
