1、【不定积分的第一类换元法】 已知 求 【凑微分】 【做变换，令，再积分】 【变量还原，】【求不定积分的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：（2）凑微分：（3）作变量代换得：（4）利用基本积分公式求出原函数： （5）将代入上面的结果，回到原来的积分变量得： 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。_【第一换元法例题】1、【注】2、【注】3（1）【注】3（2）【注】4（1）【注】4（2）【注】4（3）5（1）5（2）6（1）6（2）7（1）7（2）8（1）8（2），（）9（1）9（2）10（1）10（2）11（1）11（2
2、） 12、 13、14、 15、16、17、 18、19、20、21、22、23、24、25、计算，【分析】因为： 所以： 【解答】 【不定积分的第二类换元法】 已知 求 【做变换，令，再求微分】 【求积分】 【变量还原，】_【第二换元法例题】1、2（1） 2（2）3、 4、5、 6、 【注】被积函数中出现了两个根式时，可令，其中为的最小公倍数。7（1） 7（2） 【注】被积函数中含有简单根式或时，可令这个简单根式为 ，即可消去根式。8(1)8（2） 【注】当被积函数中分母的次数较高时，可以试一试倒变换。9、 【注】对三角函数有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。10（1）10（2） 因为：所以：即： 10（3） 因为：所以：即： 【注】当被积函数中出现因子时，可以用三角变换，化为三角函数的积分问题。_【附加】【应用题】已知生产单位的某种产品，边际单位成本是，产量为 1 个单位时，成本为102，又知边际收益为，且，求：（1）利润函数； （2）利润最大时的产量；（3）利润最大时的平均价格。【解答】（1）因为： 所以：，由得：， ， 又已知：， 于是：（2）令 得： 因为：，所以当时利润最大，（3）利润最大时的平均价格为：
