1、转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。例题分析例1 解方程组分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为，再利用换元法，问题就迎刃而解了。解：设原方程组可化为解之，得即解之，得例2若m、n、p同时满足下面二式：，求的取值范围。分析：直接利用已知条件中的两个等式得到的取值范围不好下手，如果换个角度
2、考虑可变形为，令，则已知条件可转化为方程组，进而找到a、b与c的关系，可以确定所求式子的取值范围。解：设，则由(1)、(2)可得 (3) (4)此时， (5)由(3)得，由(4)得由(5)得例3 如图，中，BC4，P为BC上一点，过点P作PD/AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，面积最大？分析：本题从已知条件上看是一个几何问题，而求最大值又是一个代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键，为了完成这种转化，需要把位置关系转化为数量关系，得出函数解读式。解：设BPx，的面积为y作于H则化简得配方得即P为BC中点时，的面积最大这时的面积最大值为例4已知二次函数过点O(
3、0，0)，A()，B()和C()四点。 (1)确定这个函数的解读式及m的值； (2)判断的形状； (3)若有一动圆M，点M在x轴上，与AC相切于T点，M和OA、OC分别交于点R、S，求证弧长为定值。分析：(1)由于二次函数过三个定点，因此可以利用待定系数法确定函数的解读式，进而求出m的值。 (2)分别计算出OA、OC、AC的长即可判定的形状。 (3)这一问综合性较强，需要根据条件列出点的坐标，再利用方程和距离公式求解。解：(1)的图象过点O(0，0)、A()、B()解得二次函数解读式为的图象过点 (2)是等边三角形 (3)设点M的坐标为(P，0)M与AC相切于T点M的半径为若M与OA、OC分别
4、交于则由(1)、(2)知，是方程的两个根即的两根为是等边三角形，的弧长为（定值）说明：本例是一个综合问题，尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合，需将几何中的点用坐标表示出来，再通过代数方法列出方程通过距离公式确定的形状，从而确定的度数，最后计算出的弧长。例5 如图，两圆同心，大圆的弦AD交小圆于B、C两点，AE切小圆于点E，连结CE，直线BE交大圆于P、Q两点，已知BEAEb，ABa。求证：(1)CD、CE的长是方程的两个根； (2)求PB的长。分析：此例不仅把线段CD、CE的长作为关于x的一元二次方程的根，还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数，所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CD
5、、CE与实数a、b的等量关系，用含a、b的代数式表示CD、CE的长。略解：(1)依题意，可证得CEAC由切割线定理，得，即又CDABa的长是方程的两个根 (2)由相交弦定理，得即解得（不合题意，舍去）易错题分析例1.四边形ABCD中，AC平分，求BC和AB的长。分析：本题是四边形问题，通常要转化为直角三角形来解决。由已知，AC平分，所以想到由C点作于E，作于F。由已知可求出CF，由，可知CE的长，通过解可求出BC的长。BE也可求，再通过解由勾股定理求出AE的长，这样，AB的长就求出来了。解：作于E，于F在中，在中，由勾股定理，综上所述：。点评：本题有的同学没有思路，但如果想到由已知，想到作AD
6、边上的高线，再由AC平分想到从C点作角的两边的垂线段，总之，把四边形转化为直角三角形解决问题。例2.四边形ABCD中，求AB。分析：本题是四边形问题，可以通过分割或补全直角三角形进行转化，从而解决问题。解：过D点作的延长线于E，若为钝角，作延长线于F，（若为锐角，作于F，同理）在中，四边形EBFD是矩形在中，点评：本题通过分割或补全直角三角形来求解四边形，注意对的讨论。有可能是锐角、直角或钝角，但无论是什么角，都不影响解题的结果。例3.在四边形ABCD中，求CD的长。分析：本题也是四边形问题，需要转化为直角三角形解决。解：若是锐角，（是钝角或直角同理）过C点作于F，过C点作的延长线于E。四边形
7、AECF是矩形在中，在中，点评：以上三个题组成一个题组，都是解四边形的问题。在四边形中，常常通过分割或补全直角三角形来求解四边形。其实质就是把四边形的问题转化为直角三角形的问题，所运用的数学思想就是转化的思想。以上三题容易错的地方是如何把四边形通过分割或补全直角三角形，另外要注意计算不要出错。练习一. 选择题：1. 若x、y都是实数，且，则的值是（） A. 12B. 12C. D. 92. 设关于的二次方程的两根为，若，则的值是（） A. 3B. 1C. 3或1D. 33. 如图，梯形ABCD中，AB/DC，ABa，BDb，CDc，且a、b、c使方程 有两个相等实数根，则和的关系是（） A.
8、B. C. D. 4. 在关于x的一元二次方程中，a、b、c是的三条边，那么这个方程根的情况是（）A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有实数根D. 有两个不相等的实数根5. 已知a、b、c是三边的长，bac，且方程两根的差的绝对值等于，则中最大角的度数是（） A. B. C. D. 6. 已知a、b、c是三条边长，关于x的方程有两个相等的实数根，且，则的值是（） A. 1B. C. D. 7. 若是直角三角形两锐角，那么关于x的一元二次方程根的情况是（）A. 有两个相等的正根B. 有两个不等的负根C. 有一正根和一个负根D. 没有实数根二. 填空题：1. 在长方形内有1989个点，以
9、这1993个点（包括长方形四个顶点）为顶点画三角形，使每个三角形内部都不包含其它已知点，则这个长方形被分成_个三角形。2. 方程在区间(4，0)中有两个不相等实根，则m的取值范围是_。3. 在中，D是BC中点，于E，AE7，则DE的长为_。三. 解答题：1. 解分式方程：.2. 已知为实数，证明：。3. 如图，AB是半圆O的直径，O是圆心，若，求四边形ABCD的周长和面积。4. 已知：如图，在中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC长是1，且，求。5. 已知边长为1的正方形ABCD内接于O，延长BC到点E，使CEBC，连接AE交O于F，求证：EF、FA的长是方程的两根。疑难解答 A. 教师自己
10、设计问题：1. 怎样运用转化思想证明模拟试卷中的解答题的第2小题？2. 模拟试卷中解答题的第4小题怎样把一般三角形转化为特殊三角形？B. 对问题的解答：1. 模拟试卷中解答题的第2小题是证明不等式的问题，可以转化为一元二次方程根的判别式来证明，这就需要构造出合适的一元二次方程，可以设，则，即，为实数，将上面方程看成的一元二次方程时，。2. 答：和都是一般斜三角形，直接根据已知条件不易求得结果，但是由于中AC已知，且，若以AC为一边和以为一内角构成直角三角形或一个等边三角形，则这两种三角形面积都能求。 (1)如图：过C作AB的垂线交AB的延长线于G 可证这是构成直角三角形的解法(2)如图：以AC为一边，为一内角，构成正三角形ACG作的平分线交GA于F则可证试卷答案一. 1. B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A二. 1. 3980个 2. 3. 三. 1. 提示：原方程转化为即，令解方程后检验知是原方程的解 2. 提示：可转化为一元二次方程根的判别式来证明 3. 提示：连结OD、OC，作于E，可得，四边形周长 4. 提示：可以构造直角三角形或等边三角形来解， 5. 提示：由勾股定理，得，由割线定理，得，将代入方程左边，右边0，是方程的根，同理也是方程的根，EF、FA是方程的两根。
