1、1 第三节 本节内容 一 多元复合函数求导的链式法则 二 多元复合函数的全微分 第八章 三 隐函数求导法则 2 一 多元复合函数求导的链式法则 定理 若函数 处偏导连续 在点t可导 则复合函数 证 设t取增量 t 则相应中间变量 且有链式法则 有增量 u v 3 全导数公式 t 0时 根式前加 号 4 若定理中 说明 例如 易知 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在 则定理结论不一定成立 5 推广 1 中间变量多于两个的情形 设下面所涉及的函数都可微 2 中间变量是多元函数的情形 例如 例如 6 又如 当它们都具有可微条件时 有 注意 这里 表示f x x y 固定y对x求导 表示f x
2、v 固定v对x求导 口诀 与 不同 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 7 例1 设 解 8 解 例2 求函数的偏导数 令 则 9 例3 解 10 例4 设 求全导数 解 注意 多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号 11 例5 设 二阶偏导数连续 求下列表达式在 解 已知 极坐标系下的形式 1 则 12 题目 13 已知 注意利用已有公式 14 同理可得 题目 15 二 多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论u v是自变量还是中间变量 则复合函数 都可微 其全微分表达 形式都一样 这性质叫做全
3、微分形式不变性 16 例6 利用全微分形式不变性再解例1 解 所以 17 1 一个方程所确定的隐函数及其导数 2 方程组所确定的隐函数组及其导数 三 隐函数的求导方法 18 1 一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1 设函数 则方程 单值连续函数y f x 并有连续 隐函数求导公式 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 具有连续的偏导数 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 19 两边对x求导 在 的某邻域内 则 20 例7 验证方程 在点 0 0 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解 令 连续 由定理1可知 导的隐函数 则 在x 0的某邻域内方程存在单值可 且 并求
4、 21 22 定理2 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数z f x y 定理证明从略 仅就求导公式推导如下 满足 在点 满足 某一邻域内可唯一确 23 两边对x求偏导 同样可得 24 解 利用公式 设 则 例8 25 2 方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形 由F G的偏导数组成的行列式 称为F G的雅可比行列式 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 即 雅可比 26 雅可比 1804 1851 德国数学家 他在数学方面最主要 的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独 地奠定了椭圆函数论的基础 他对行列 式理论也作了奠基性
5、的工作 在偏微分 方程的研究中引进了 雅可比行列式 并应用在微积 分中 他的工作还包括代数学 变分法 复变函数和微 分方程 在分析力学 动力学及数学物理方面也有贡献 他在柯尼斯堡大学任教18年 形成了以他为首的学派 27 定理3 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 的单值连续函数 且有偏导数公式 在点 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足 导数 28 P86 29 有隐函数组 则 两边对x求导得 设方程组 在点P的某邻域内 解的公式 故得 系数行列式 30 同样可得 31 例9 设 解 方程组两边对x求导 并移项得 求 练习 求 答案 由题设 故有 32 内容小结 1 复合函数求导的链式法则 分段用乘 分叉用加 单路全导 叉路偏导 例如 2 全微分形式不变性 不论u v是自变量还是中间变量 33 3 隐函数 组 存在定理 4 隐函数 组 求导方法 方法1 利用复合函数求导法则直接计算 方法2 利用微分形式不变性 方法3 代公式 第三次作业
