1、高二数学同步辅导教材（第15讲）本章主要内容8.4 双曲线的简单几何性质一、 本讲主要内容1、 双曲线的第二定义2、 双曲线的几何性质及应用3、 直线与双曲线的位置关系二、 学习指导1、 双曲线的几何性质分为两大类（1） 自身固有的几何性质： 位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直； 数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c。两准线之间距离为； 焦准距（焦参数）； 离心率，e1，e越大，双曲线开口越阔。（2） 解析性质（与坐标系有关），列表比较如下：焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线方 程（a0，b0）（
2、a0，b0）顶 点（a，0），（0，b）（0，a），（b，0）焦 点F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2(0，c)准 线x=y=渐近线y=y=对称性关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称范 围|x|a，yR|y|a，xR焦半径P在左支：|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0P在右支：|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-aP在下支：|PF1|=-a-ey0，|PF2|=a-ey0P在上支：|PF1|=ey0+a，|pF2|=ey0-a 2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同，见教材P112.例3。第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容。 3、直线与双曲线的位置
3、关系研究完全类似于直线和椭圆。但由于双曲线多了渐近线，因此当直线与双曲线有一个公共点时，其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切，此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x（或y）的二次方程的判别式=0；二是直线与双曲线相交，具体地说，也就是直线与双曲线的渐近线平行。此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x（或y）的方程为一次方程。直线与双曲线相交时，基本处理途径有二：一是列方程组；二是用点差法。不管是哪一种途径，都要强化设而不求的思想。4、在（a0，b0）中，若a=b，则双曲线为等轴双曲线，其离心率。5、 双曲线与称为共轭双曲线。 5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换；它们的焦点共圆；它们的离心率
4、e1、e2满足=1。 6、已知双曲线方程为，则其渐近线方程为；若已知渐近线方程为，则对应的双曲线方程为三、 典型例题 例1、直线l：ax+by-3a=0与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程。解题思路分析：含字母的问题应分类讨论。本题在化简直线方程的过程中，需对b (或a)讨论；在直线方程与双曲线方程联立消元后，需对方程的类型进行讨论。由ax+by-3a=0得：by=-ax+3a （1）当b=0时，a0，x=3，代入得y=0，此时直线l：x=3与双曲线只有一个公共点（3，0）； （2）当b0时，直线l方程为由得(4b2-9a2)x2+54a2x-9(a2+4b2)=0 当4b2-9a2=0，时
5、，方程可化为x=3，y=0，此时直线l：与双曲线只有一个公共点；当4b2-9a20时，由已知得=0，但=542a4+36(4b2-9a2)(4b2+9a2) =3616640 恒成立 此时直线l与双曲线必相交综上所述，满足条件的直线l共有三条：x-3=0，2x3y-6=0注：含参数的直线l方程若化简为a(x-3)+6y=0，则可知l必定点（3，0），因（3，0）正好为双曲线实轴顶点。所以过此点的切线x=3及过此点与渐近线平行的直线y=均与双曲线只有一个公共点。由此可见，重视几何图形特征分析会简化计算。例2、双曲线H的一条渐近线过点P（2，1），两准线间的距离为，求H的标准方程。解题思路分析：用
6、待定系数法。注意对焦点位置进行分类讨论。（i） 当焦点在x轴上时，设H：，则其渐近线为 解之得： H方程为 （ii）当焦点在y轴上时，同理可求得双曲线方程为。例3、双曲线H的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，能否在H的左支上找到点P，使|PF1|是P到右准l1的距离d1与|PF2|的等比中项。解题思路分析：本题称为开放性题型，需要首先对结论作出是否存在的判断。通常总是肯定结论成立，然后求出满足条件的元素，如本题点P。设双曲线H：（a0，b0），P(x0，y0)，x0-a则|PF1|=-a-ex0=，|PF2|=a-ex0代入|PF1|2=d1|PF2|得：整理得： 点P在左支上 x0-a -
7、a e2-2e-10 10不能正确反映l与C的位置关系。法一：由得：(1-k2)x2-4kx-10=0 1-k20 方程可等价化为令f(x)=则方程f(x)=0在区间，+）上有两个不同的根利用函数与方程的思想，得到对应的函数f(x)的示意图 解之得：法二：对于法一中的不等式组，同学们可以发现运算性很大，因此应进一步地思考，有没有更加简单的方法。观察双曲线的位置特征，可以发现双曲线在x（0，）之间无曲线，所以若直线与双曲线的右支相交，则就是与双曲线在y轴右侧部分相交；反之亦然。 法一中的方程f(x)=0在，+）有两个根f(x)=0在（0，+）上有两个根。下用韦达定理或函数图象均可 注：本题在讨论
8、方程(1-k2)x2-4kx-10=0的区间根时，为了避免讨论函数f(x)=(1-k2)x2-4kx-10的开口方向，在1-k20时，两边同除以1-k2，将二次项系数转化为常数项。因1-k20，否则直线与双曲线只有一解。例5、如图，直线l交双曲线及其渐近线于A、B、C、D，求证：|AB|=|CD|。解题思路分析：若求AB、CD长度，显然运算量较大。考虑将该结论等价转化为易证其它结论。取BC中点M，则|MB|=|MC|若|AB|=|CD|，则|AB|+|MB|=|CD|+|MC| |MA|=|MD|即M为AD中点，逆之亦成立，所以|AB|=|CD|BC与AD中点重合，下用韦达定理即可。若AB斜率
9、不存在，由双曲线及渐近线对称性命题为真设直线l：y=kx+m（k）由得：(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0设B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC中点M(x0，y0)则x0=同理由得AD中点N的横坐标 又 M、N在同一直线上 M与N重合 |MA|=|MD|，|MC|=|MB| |AB|=|CD|注：本题在求B、C两点中点坐标时，用的是韦达定理，在求AD中点时，也用的是韦达定理，其技巧是将两条渐近线看成是一条二次曲线，也就是说，两条相交直线可看成是二次曲线的退化。即二次曲线为，当然若分别求A、D坐标也可以，就是增加了运算量。五、同步练习（一） 选择题 1、双曲线与椭圆
10、有相同的焦点,它的一条渐近线为y=-x，则双曲线方程为A、x2-y2=96 B、y2-x2=160 C、x2-y2=80 D、y2-x2=246、 焦点为（0，6）且与双曲线有相同渐近线的方程是A、 B、 C、 D、3、已知双曲线的实轴的一个端点为A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|=5，则双曲线的方程是A、 B、 C、 D、4、双曲线的焦点到准线的距离是A、 B、 C、 D、5、中心在原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为A、 B、 C、 D、6、双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率为A、 B、 C、 D、7、准线方程为y=1，离心率为的双曲线方程是A、2x2-2y2
11、=1 B、x2-y2=2 C、y2-x2=2 D、y2-x2=-28、双曲线4x2-9y2=36上一点P到右焦点的距离为3，则点P到左准线的距离为A、 B、 C、 D、9、双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为A、 B、 C、 D、10、与椭圆共焦点，且两准线间的距离为的双曲线方程为A、 B、 C、 D、（二） 填空题11、经过两点P1(-3，)，P2(-，-7)的双曲线方程是_。12、经过点M（10，），两条渐近线方程是的双曲线的方程是_。13、双曲线的右支上有A、B、C三个不同的点，若A、B、C关于右焦点的三条焦半径成等差数列，则它们的横坐标m、n、p满足的关系式是_。14
12、、双曲线上有点P，F1、F2是双曲线的焦点，且F1PF2=，则F1PF2的面积是_。15、双曲线的离心率为，则实数m的值是_。（三） 解答题16、双曲线H：，过点P（1，1）的直线l与H只有一个公共点，求l的方程。17、过点P(1,1)作双曲线的弦,使点P恰为弦的中点,可能吗?为什么?18、中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率的双曲线H过点P（6，6）动直线l过A1PA2的重心G，且交H于M、N两点，MN中点为Q，问l的斜率k为何值时，有A2PA2Q？19、证明双曲线上任意点到两条渐近线的距离的乘积是一个定值。20、设等轴双曲线x2-y2=a2（a0）的两个顶点为A和B，P为双曲线上不同
13、于A和B的任意一点，自P向x轴作垂线，垂足为Q，求证PAQ+PBQ=900。六、参考答案（一） 选择题1、D。 设双曲线方程为y2-x2=（0），因椭圆焦点为（0，），0，2=，=24。2、B。 设双曲线方程为（0），焦点为（0，6），0），则b=4k，焦点在y轴上，渐近线方程为，即。6、D。 当时，；当时，。7、C。 离心率为，双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为x2-y2=（0），由准线方程特征知，0，双曲线标准方程为，准线方程为，=-2。8、A。 双曲线方程为，a2=9，b2=4，c2=13，F1（，0），F2（，0），当点P在左支时，|PF2|-|PF1|=6，|PF1|=|PF2|-6
14、=-30（舍），点P在右支上；|PF1|-|PF2|=6，|PF1|=6+|PF2|=9。设P到左准线的距离为d，则， d=。9、B。 ，。10、B。 椭圆焦点为（0，3），。（二） 填空题11、 设双曲线方程为Ax2-By2=1（AB1时，a2=m-1，b2=m+1，c2=2m，代入得m=9；当，m0），则b=m H： 点PH m2=1 H：又A1（-3，0），A2（3，0），P（6，6） G（2，2）由 得： (4-3k2)x2-12k(1-k)x-12(1-k)2+3=0设 M（x1，y1），N（x2，y2），中点Q（x0，y0）则 A2PA2Q 整理得：3k2-10k+4=0 又 0，得5k2+8k-160 19、证明：设P（x0，y0）是双曲线上任意一点则 即 b2x02-a2y02=a2b2又双曲线渐近线为bxay=0 P到两渐近线的距离之积为： =定值20、证明：设P（x0，y0）则 x02+y02=a2 x02-a2=y02即 PQx轴，A（a，0），B（-a，0） tanPAQ= cotPBQ= tanPAQ=cotPBQ PAQ、PBQ均为锐角 PAQ+PBQ=900
