1、解析几何中与角有关的问题一课前热身：1在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则5/4.2已知直线y=2x上一点P的横坐标为a，两定点A(-1,1)、B(3,3)。若APB为钝角，则a的取值范围是 0 ab0),半焦距c，则|MA1|=-a，|A1F1|=a-c，由题意，得a=2,b=,c=1故椭圆方程为（）设P(m,y0)，|m|1,当y0=0时，F1PF2=0，当y00时，0F1PF2P F1M1.5：如图，椭圆1（ab0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：ATM
2、=AFT.解：（）过A、B的直线方程为因为由题意得有惟一解。即有惟一解，所以 （ab0），故 a2 + 4b2 4 = 0. 又因为，所以 a2 = 4b2 . 从而得= 2， ，故所求的椭圆方程为 （）由（）得，所以 ，从而 由 解得x1 = x2 = 1,所以 因为tanAF1T，又 ，得 ，因此 ATM = AF1T6设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最
3、大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或6如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：（1）求椭圆的方程；（）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：为定值，并求此定值解：（I）设椭圆方程为答（22）图因焦点为，故半焦距又右准线的方程为，从而由已知，因此，故所求椭圆方程为（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有 解得 因此，而，故为定值三拓展延伸：7设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.（）求椭圆的方程；
4、（）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.解：（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b 故椭圆的方程为 （）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0） 设M（x0，y0） M点在椭圆上，y0（4x02） 又点M异于顶点A、B，2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内 解法2：由（）得A（2，0），B（2，0） 设M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x22，又MN的中点Q的坐标为（，），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差（2）2（）2（x1x2）2（y1y2）2 （x1
5、2） （x22）y1y1 又直线AP的方程为y，直线BP的方程为y，而点两直线AP与BP的交点P在准线x4上，即y2 又点M在椭圆上，则，即 于是将、代入，化简后可得 从而，点B在以MN为直径的圆内 8已知两定点，动点M满足.()求动点M的轨迹Q的方程；()设曲线Q与y轴的交点为B，点E、F是曲线Q上两个不同的动点，且，直线AE与BF交于点，求证：为定值；() 在第（）问的条件下，求证：过点和点E的直线是曲线Q的一条切线.（）在第（）问的条件下，试问是否存在点E使得（或），若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，说明理由.解：（）设动点，因为所以或化简得：（）由可设点则由A、P、E三点共线可得，同理可得：，两式相乘得：，又因为，所以=3（）点E处曲线Q的切线的斜率为，则切线方程为，AE、BF的方程为，则，所以在上述切线上，即过点和点E的直线是曲线Q的一条切线.（） 先证： （其中用到代换）由此可得：.要使，则只需，即.而，因此不存在点E使得成立.另解：同前可得，要使，则只需，即，化简得，显然不成立.
