1、7 2 2单位圆与正弦 余弦线 教学目标 一 知识与技能目标1 有向线段的概念 2 用单位圆中的线段表示三角函数值 二 过程与方法目标理解和掌握用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向来表示三角函数值 三 情感态度与价值观目标根据三角函数的定义导出三角函数线 数形沟边 发展思维 教学重点 难点1 教学重点 怎样用三角函数线表示三角函数值 2 教学难点 三角函数线所表示的三角函数值的正负如何确定 一 复习引入1 任意角三角函数的定义 教学过程 正弦 余弦 正切 1 为任意角 P x y 为角 终边上非原点的任意一点 3 比值与点P在角 终边上的位置无关 2 只要知道角的终边上任意一点的坐标就可以
2、求出这个角的三角函数值 以上函数都看成是以角为自变量 以比值为函数值的函数 统称叫三角函数 一 复习 任意角三角函数的定义sin cos tan 2 设 的终边与单位圆交点为P x y 那么 sin cos tan 故 P x y P cos sin 这就是说 角 的余弦和正弦分别等于角 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标 任意角的三角函数的单位圆定义 x y 巩固练习 前面我们学习了任意角的三角函数 由三角函数的定义我们知道 对于角 的各种三角函数我们都是用比值来表示的 或者说是用数来表示的 今天我们再来学习正弦 余弦 正切函数的另一种表示方法 几何表示法 1 单位圆的概念 一般地 我们把半径
3、为1的圆叫做单位圆 设单位圆的圆心与坐标原点重合 则单位圆与x轴的交点分别为A 1 0 A 1 0 而与y轴的交点分别为B 0 1 B 0 1 一 单位圆 有向线段的概念 2 有向线段的概念与有向线段的大小 带有方向的线段叫有向线段 有向线段的大小称为它的数量 有向线段的数量 数值 由其长度大小和方向来决定 例如在数轴上 OA 3 OB 3 3 3 在坐标系中 规定 有向线段的方向与坐标轴的方向相同 即同向时 数量为正 反向时 数量为负 例1 分别作出 的正弦线 余弦线 正切线 四 练习 x y x y M M 问题1 你能否用几何中的方法表示三角函数 x y x y M M 三角函数线 的终
4、边 P M T 有向线段称为角 的正弦线 即sin 有向线段称为角 的余弦线 即cos 有向线段称为角 的正切线 即tan 的终边 y x A 1 0 O P M T 终边落在第二象限 终边落在第三象限 的终边 y x A 1 0 P O M T 终边落在第四象限 三角函数线 例1 分别作出 的正弦线 余弦线 正切线 四 练习 例2利用单位圆中的三角函数线 求满足下列条件的角x的集合 在0 2 之间满足条件的角x的终边必须在图中阴影部分内 包括边界 即 3 x 2 3 故满足条件的角x的集合为 x 2kk z 在0 2 之间满足条件的角x的终边应在图中阴影部分 不包括边界 即 2 x 5 6或
5、3 2 x 11 6 故满足条件的角x的集合为 x k 2 x k 5 6 k z 例3 比较大小 1 sin1和sin1 5 2 cos1和cos1 5 3 tan2和tan3 解 由三角函数线得 sin1 sin1 5 cos1 cos1 5 tan2 tan3 例4 利用三角函数线证明 sin cos 1 证明 在 OMP中 OP 1 OM cos MP ON sin 因为三角形两边之和大于第三边 所以 sin cos 1 练习2 用三角函数线证明 例4 已知 0 试证明sin tan 证明 sin ON MP tan AT 又 所以 即sin tan 五 小结 1 给定任意一个角 都能
6、在单位圆中作出它的正弦线 余弦线 正切线 2 三角函数线的位置 正弦线为从原点到 的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段 余弦线为从原点到 的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段 3 特殊情况 当角的终边在x轴上时 点P与点M重合 点T与点A重合 这时正弦线与正切线都变成了一点 数量为零 而余弦线OM 1或 1 当角的终边在y轴上时 正弦线MP 1或 1余弦线变成了一点 它表示的数量为零 正切线不存在 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上 为有向线段 作业 利用单位圆中的三角函数线 求满足下列条件的角x的集合 解答已知 0 试证明sin tan 证明 sin ON MP tan AT 又 所以 即sin tan
