1、1 1 8函数的连续性与间断点 函数的连续 continuity 函数的间断点 小结思考题作业 discontinuouspoint 第一章函数与极限 2 间变化很小时 生物生长的也很少 在函数关系上的反映就是函数的连续性 在自然界中 许多事物的变化是连续的 如气温变化很小时 单摆摆长变化也很小 时 在高等数学中 主要的研究对象就是连续函数 这种现象 从直观上不妨这样说 连续函数的 特征就是它的图形是连续的 也就是说 可以 一笔画成 3 1 函数的增量 自变量 称差 为自变量在 的增量 函数随着从 称差 为函数的 增量 如图 一 函数的连续性 4 连续 2 连续的定义 定义1 设函数f x 在
2、 内有定义 若 则称函数f x 在x0处 并称x0为函数f x 的 连续点 定义2 若 则称函数f x 在x0处 连续 充分必要条件 5 连续性的三种定义形式不同 这三种定义中都含有 但本质相同 f x 在 内有定义 1 2 3 三个要素 定义3 把极限定义严密化 便于分析论证 存在 6 一般讲 证明的命题用函数连续的定义1方便 是判断分段函数在分界点处是否连续用 判断函数在某点是否连续 尤其 定义2方便 某一邻域而言 由上述定义可知 f x 在x0点的连续性 是描述f x 在x0点邻域的性态的 即它是对 因此在孤立点处无连续可言 7 例 证 都是连续的 类似可证 是连续的 即 8 例 证 定
3、义2 试证函数 处连续 9 3 左 右连续 左连续 continuityfromthe 右连续 continuityfromthe left right 左连续 右连续 10 定理1 此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性 11 例 解 右不连续 所以 左连续 12 例 解 13 4 连续函数 continousfunction 与连续区间 上的 或称函数在该区间上连续 在区间上每一点都连续的函数 称该区间 在开区间 右连续 左端点 右端点 这时也称该区间为 continuous 左连续 连续函数 连续区间 内连续 14 关于连续函数 有一个对某些问题的推理 定理2 很有用的定理 的一个
4、邻域 使得在此邻域内 是一条无缝隙的连绵而不断的曲线 连续函数的图形 15 例如 有理整函数 多项式 内是连续的 因此有理分式函数在其定义域内的每一点 有理分式函数 只要 都有 因此有理整函数在 都是连续的 第五节中已证 16 定义4 出现如下三种情形之一 二 函数的间断点及其分类 无定义 不存在 间断点 17 间断点分为两类 第二类间断点 discontinuitypointofthesecondkind 第一类间断点 discontinuitypointofthefirstkind 及 均存在 及 中至少一个不存在 若 称为可去间断点 若 称为跳跃间断点 若其中有一个为振荡 若其中有一个为
5、 称为无穷间断点 称为振荡间断点 18 可能是连续点 初等函数无定义的孤立点是间断点 分段函数的分段点可能是间断点 也 需要判定 19 例 由于函数 无定义 故 为f x 的间断点 且 皆不存在 第二类 第二类间断点 至少有 且是无穷型间断点 一个不存在 20 例 有定义 不存在 故 为f x 的间断点 第二类 且是无穷次振荡型间断点 之间来回无穷次振荡 21 例 有定义 故 为f x 的间断点 第一类 的第一类间断点 则点x0为函数f x 的 且是跳跃间断点 跳跃型间断点 Jump discontinuity 及 均存在 则点x0为 22 例 讨论函数 解 为函数的间断点 第一类 且是可去间
6、断点 removablediscontinuity 连续 处无定义 可去间断点 23 则可使x0变为连续点 对可去间断点x0 如果 于A 这就是为什么将这种间断点称为 使之等 可去间断点的理由 补充x0的函数值 或改变 24 如补充定义 如 但 25 总结两类间断点 第一类间断点 跳跃型 第二类间断点 无穷型 可去型 无穷次振荡型 极限与连续之间的关系 f x 在x0点连续 f x 在x0点存在极限 26 练习 设 解 因为 所以 必需且只需 即 必需且只需 即 27 见下图 无穷型 无穷次振荡型 三 小结 1 函数在一点连续的三个定义 必须满足的 2 区间上的连续函数 3 函数间断点的分类 间断点 第一类间断点 跳跃型 可去型 第二类间断点 三个条件 28 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 无穷次振荡型 第二类间断点 29 思考与练习 1 讨论函数 x 2是第二类无穷间断点 间断点的类型 2 设 时 提示 为 连续函数 答案 x 1是第一类可去间断点 30 作业 习题1 8 64页 1 2 2 2 4 3
