1、6.3 基数的比较,也许有人会问，是否所有集合都以自然数、0 和 C 之一作为其基数呢？其实不然。例如，(R)（R 为实数集）不以 C 为基数，更不以 0 和自然数为其基数，需另外加以确定。为了作更深入的讨论，引入基数大小的概念。,6.3.1 基数的比较 表示集合元素 “多少” 的基数并不限于自然数，0 和 C，还存在着其它集合和表示它们元素 “多少” 的其它基数，只是为了简化，不讨论一般的基数概念。但是，为了对基数有一个总体的认识，以下要讨论基数大小的概念。定义6.9 设 A，B 为任意集合 (1) 称 A，B 基数相等，记为 |A|B|， 如果有双射 f：AB 或双射 f：BA。 (2)
2、称 A 的基数小于等于 B 的基数，记为|A|B|，如果有单射 f：AB 或满射 f：BA。 (3) 称 A 的基数小于 B 的基数，记为 |A|B|， 如果 |A|B| 且 |A|B|。,显然，上述定义与前面对有限集、可数无限集及连续统的基数规定是一致的。对任何自然数 m，n， 若 mn，则 | 0, 1, 2, , m1 | 0, 1, 2, , n1 | 对任何自然数 n，n0，即 | 0, 1, 2, , n1 | 0, 1, 2, | 而 0C，即 | 0, 1, 2, | R | 关于基数相等及不等关系有下列定理。,定理6.13 基数相等关系为一等价关系，即对任何集合A，B，C 满
3、足： |A|A|； 若 |A|B|，则 |B|A|； 若 |A|B|，|B|C|，则|A|C|。 本定理由定义和双射的性质即可证明。,本定理表明，全体集合可以依赖集合间的基数相等关系来进行划分，每一等价类为两两基数相等（其元素一一对应）的集合族。因而可以说，基数是一等价类中诸成员集合的一个共同特性的抽象，甚至就把基数规定成这样的等价类，从而获得基数的一般定义。例如，什么是基数？回答是，它是所有由两个元素组成的集合的等价类，或者说是这个等价类中诸集合的一个公共特性两个（或有限个）元素的抽象。什么是 0？它是所有可数无限集合的等价类，或者说是这个等价类中诸集合的一个公共特性可数无限多个成员的抽象。
4、,定理6.14 对任何集合 A，B，C 有：|A|A|；若 |A|B|，|B|C|，则|A|C|。该定理由读者自行证明。定理6.15 基数三歧性定理 对任何集合 A，B， 或者 |A| B |，或者|A|B|，或者|B|A|，且不能兼而有之。 该定理的证明依赖于选择公理，由读者自行证明。,定理6.16 对任何集合 A，B， 如果 |A|B|，|B|A|，则|A|B|。该定理的证明略。 上述三个定理表明，基数的关系为全序关系。定理 6.16 在基数讨论中有广泛的应用。,定理6.17 (N)（N为自然数集）为连续统。证明：利用定理 6.16 来证明。 为此要建立单射 f：(N)0,1， 单射 g：
5、0,1(N)，以便证明 |(N)|C，C|(N)|。 定义 f：(N)0,1 如下：对任一 S N f(S)0.x0x1x2x3（十进制小数） 其中 1 当 iS xi 0 当 i S,例如 f()0.000， f(N)0.111， f(1)0.0100，f(0, 2)0.10100 显然 f 为单射。定义 g：0,1(N) 如下：对每一 0,1 中数的二进制表示（如果这种表示不唯一，则取定其中之） 0.x0x1x2x3（xi 为 1 或 0）：g(0.x0x1x2x3)i | xi1显然 g 也为单射。定理得证。,注意，上述证明中，对 f 不可用二进制表示的实数 0.x0x1x2x3，因为在
6、二进制中 f(0)0.1000 0.0111 f(1, 2, 3, )从而 f 不为单射。另外，应注意 g 不是满射。例如 1/2，只能取一种二进制表示方式，当它确定表示为 0.100 时，g(0.100)0，从而不可能有 x 使 g(x)1, 2, 3, ，因为只有在 x0.0111 时才有这结果，而 0.0111 是 1/2 的另一种二进制表示方式。,现在讨论本节提出的问题，看看究竟是些什么集合具有不同于自然数、0 和 C 的基数。 定理6.18 0 是最小的无限集基数，即没有无限集 A，使 |A|0。 证明：设 A 为一无限集，那么根据定理 6.11， 有无限集 B，B A， 从而有单射
7、 f：BA，f(x)x。 因此 |B|A|，即|A|0， 根据基数三歧性定理 |A|0 不成立。 本定理表明，不存在基数大于所有自然数而又小于 0 的集合。,定理6.19 对任一基数，总存在集合，其基数 大于， 即。证明：设以 为基数的集合为 A，令 (A) 的基数为 ， 欲证 ，即 |A|(A)|。 显然有 |A|(A)|，因为可以定义f：A(A)，对每一 xA，f(x)x，显然 f 为单射。 现证 |A|(A)|。 假设该命题不成立，有双射 g：A(A)， 对每一 xA，g(x) A。定义集合Sx|xg(x),当然 S A。由于 g 为满射，有 yA，使得 g(y)S 考虑 yS 与否，有
8、 yS yx | xg(x) yg(y) yS矛盾。 因此双射 g 不存在，|A|(A)|成立。,如果把 |(A)|记为 2|A|，（这对于有限集 A 是成立的，参见定理 3.5），那么 (1) 对有限集 A，当 |A|n 时，则 |(A)|2n； (2) 对可数无限集 A，|A|0，则 |(A)|2k。 由于 |(A)| C，且对任何可数无限集 A 有|(A)|(N)| 因此 2kC (3) 对连续统 A，|A|C，则|(A)|2C 这是一个大干 C，0 和一切自然数的基数。 (4) 据定理 6.18，可以断定还有集合以， ， 为基数。因此，已知的基数由小到大可排列为 0，1，2，3，0，C
9、20，2C， ，,已经知道，在自然数与 0 之间不可能还有别的基数，那么，是否有集合，其基数大于 0 而小于 C 呢？即 0 与 C 之间是否另有基数呢？同样地，在 C 与 2C 之间，在 2C 与 之间是否另有基数呢？这是一个至今尚未解决的理论问题。著名的连续统假设及广义连续统假设断言：它们之间均无其它基数。这些假设没有得到证明，也没有得到否定；但是它们被证明与现行集合论系统是一致的、独立的，即用现行集合论公理不可能证明它们，也不可能证明它们的否定。,6.3.2 基数的性质对有限集，下列基数的特性是容易验证的。定理6.20 设任意有限集 A，B (1)| AB | A | B | AB |；
10、(2)| AB |min(| A |,| B |)；(3)| AB | A | AB |；(4)| (A) |2|A|。 对有限集基数，即自然数可以作多种算术运算，例如上述定理中的加、减、乘等，那么这些运算可否推广到无穷集的基数上运用呢？回答是肯定的。,定义6.10 设 ， 分别为集合 A，B 的基数，AB，那么定义基数和为| AB |定理6.21 对任意基数，；() ()。该定理可根据定义由读者自行证明。定理6.22 对任意基数 ，若，则 ；若，则 。该定理可根据定义由读者自行证明，的难度较大，略,定理6.23 对任何无限集基数，有 不对一般的无限基数 进行证明，只对为 0 和 C 时给予验
11、证。 当0 时，令分别是偶数集 E 及奇数集 O 的基数，那么 0|Z|EO|00 当C 时，令 A(0, 1/2)，B(1/2, 1)， |A|B|C，而 AB， 那么 AB(0, 1) 1/2，| AB |CC。 为证 C|AB|CC， 作双射 f：0,1(0,1)1/2,为证 C |AB| CC ， 作双射 f：0,1(0,1)1/2 1/3 当 x0 f(x) 1/(n+3) 当 x1/n，(n1, 2, ) x 当 x其它值 易证 f 为一双射，因此 |0,1|(0, 1) 1/2|， 即 |AB|C。,定理6.24 设 ， 为基数， 为无限集基数，若 ，则 证明：根据定理 6.22
12、、6.23 有因而。 定义6.11 设 ， 分别为集合 A，B 的基数，那么定义基数积为|AB|,定理6.25 对任意基数 ，（1）；（2）()()；（3）()，() 。证明：、由定义易证。 为证，设 ， 分别为集合 A，B，C 的基数， BC。 由于 A(BC)(AB)(AC)(AB)(AC) 故 |A(BC)|(AB)(AC)|， 即 ()。 同理可证明 ()。,定理6.26 对任意基数 ,， （1）若，则；（2）若，则。 该定理 参照定理 6.22 由读者自行证明， 的难度较大，略。,定理6.27 对任何无限集基数 ，有 不对一般的无限基数 进行证明，只对 为 0 和 C 时给予验证。
13、当0 时，令为整数集 Z 的基数，显然 ZZ 也是可数集，可得 。 当C 时，令为 (0, 1) 的基数，为证 ，只须证明 |(0,1)(0,1)|(0,1)|，建立单射 f：(0,1)(0,1)(0,1)， g：(0,1)(0,1)(0,1)： f(x)(x, x) 对每一x(0, 1) g(x1,x2)g(0.x10x11x12, 0.x20x21x22) 0.x10x20x11x21x13x23,对任意 x1, x2(0, 1) 其中 0.x10x11x12，0.x20x21x22 分别为 x1，x2 的十进制小数表现形式， 显然 f，g 均为单射，由定理 6.16 知 |(0,1)(0,1)|(0,1)|，即 CCC。,定理6.28 设 ， 为基数， 为无限集基数，若，0，则证明：根据定理 6.26、6.27 有因而 。定义6.12 设 ， 分别为集合 A，B 的基数，那么基数的幂， 的 次幂定义为|AB |,关于基数的幂运算有定理6.29 对任意基数 ， （1）+； （2）()； （3）()。该定理由读者自行证明。定理6.30 对任意基数， （1）若，则； （2）若，则。该定理由读者自行证明，的难度较大，略。,定理6.31 对任意无限基数，2。证明：据定理6.29，6.30有 (2)22故2。,
