1、1 设向量组 的秩为 ，其中 ，则 （D）12,s r1,0sr（ ） 必有 ；Ar（ ） 向量组 中任意个数小于 的部分向量组必线性相关；B12,s（ ） 向量组 中任意 个向量必线性无关；Cs r（ ） 向量组 中任意 +1 个向量必线性相关。D12,s2 设向量组 中任一向量都可由向量 线性表示。则下列结论正s 12,t确的是 （A）（ ） 当 时向量组 线性相关；st12,s（ ） 当 时向量组 线性相关；Bs（ ） 当 时向量组 线性相关；Cst12,t（ ） 当 时向量组 线性相关。Dt3 设 为 矩阵，且 ，则（C）Amn()RAm（ ） 的行向量组与列向量组都线性无关；（ ）
2、的行向量组线性无关，列向量组线性相关；B（ ） 当 时， 的行向量组线性无关，列向量组线性相关；C（ ） 当 时， 的行向量组与列向量组都线性无关。Dn4 求向量组 的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大1201,343无关组的线性组合。提示：以 为列作矩阵，并对作初等行变换化成阶梯形：54321,BA 001235213210可得向量组的秩为列向量 是向量组 的一个极大无关组。321,54321,对作初等行变换，化成最简形： 00100123521B故 2153214,5 设有向量组 123426,103pp（1） 为何值时该向量组线性无关？并在此时将向量 用 线性表p 160234,示
3、；（2） 为何值时该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。提示：（1）若该向量组线性无关，则由 为列向量组成的矩阵的行列式不4321,等于，即可得 。与上题方法一样，将 化成最简阶梯形，即可表2p示。（2） 时，由 为列向量组成的矩阵的行列式为，即该向量组4321,线性相关，与上题方法一样，将 化成阶梯形，即可求出秩与极大无关组。6 设 是一个向量组， ，若 中任何向量都可由 唯一线T12,mT 12,r性表示，证明 为 的一个极大无关组。12,r提示：设有 ，使得 （1）rk 021rk对任何向量 ，有),(iTi（2）ri 21（1）（2）得，（）rri kkk )()()(
4、2211 由于表示法唯一，比较（2） ， （）式，可得，021r故 线性无关。又 中任何向量都可由 线性表示，即证。12,r T12,r7 设 维向量组（）： ，的秩为 ，向量组（）： 的秩n12,s 1r12,t为 ，向量组（）： ， 的秩为 ，证明下列结论：2rs 12,t 3（1）若向量组（）可由（）线性表示，则 = ；2r（2）若向量组（）可由（）线性表示，则 = ；13（3）若 = ，则 ；2r312r（4）若 = ，则 。1提示：当向量组（）可由（）线性表示时，则（）可由（）线性表示，而（）可由（）线性表示，因此， （）和（）等价，即证（1） 。同理可证（2） 。由于（）和（）均在（）中，有 和 ，因此当 = 时， ； = 时，3r32r312r13。21r8 设向量组 的秩为 ，证明向量组 的秩仍为 的充分必要条12,m r12,m r件是 可由 线性表示。提示：充分性，向量组 中任意向量可由 线性表示，向量组12,m 12,m中的任意向量也可由 线性表示，故 与12,m 12,m 12,等价，从而秩相等，即得向量组 的秩也为 。 12, r必要性，设 为向量组 的一个极大无关组，由向量组12,r m的秩为 知， 为向量组 的一个极大无关组，12,m 12,r 12,则 可由 线性表示， ，从而 可由 线性表示。12,r m
