1、数学活动利用双曲线探索数量关系一、导学1.活动导入问题1：矩形的面积一定时，矩形的长和宽成什么关系？问题2：如果把矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，拖动时必须保证矩形的面积不变，猜猜看，这个对角顶点的运动轨迹会是什么图象呢？2.活动目标（1）通过活动感受面积为定值的矩形的长与宽与反比例函数的关系.（2）通过活动建立反比例函数模型，解释杠杆平衡原理.3.活动重、难点重点：两个活动.难点：第二个活动.二、活动过程活动1探索矩形顶点的运动轨迹1.活动指导（1）活动内容：教材P19活动1：探索矩形顶点的运动轨迹.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提
2、纲：下表是10个面积相等的矩形的长与宽，请补齐表格.设A为这10个矩形的公共角，在下面的坐标系中画出这10个矩形(假设每个小正方形的边长都是1 cm，矩形的长对应横坐标，宽对应纵坐标)，然后取A的10个对角的顶点，并把这10个点用平滑的曲线连接起来. 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？(是，它是双曲线的一支.)如图，过y=的图象上任意一点P作两坐标轴的垂线段,则图中矩形的面积S是定值吗？是多少？（是，） 第题图 第题图如图，过y=的图象上任意一点P作某一坐标轴的垂线段，则图中三角形的面积为.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学（1）师助生：明了学情：了解学生是否会画图.差
3、异指导：把全班学生分成4个组，依次以图中网格的四个角处的格点为A的顶点，分别画图.（2）生助生：小组内互相交流.4.强化（1）把面积为定值的矩形的一个顶点固定，拖动这个固定顶点的对角顶点，这个对角顶点的运动轨迹是反比例函数图象的一支. （2）反比例函数的k的几何意义.活动2探索力与力到支点距离的关系1.活动指导（1）活动内容：教材P19活动2：探索力与力到支点距离的关系.（2）活动时间：10分钟.（3）活动方法：完成活动参考提纲.（4）活动参考提纲：如图，取一根长100 cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来.在中点O的左侧距离中点O 25 cm处挂一个重9.8 N的物体，在中点O
4、右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态.改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），看弹簧测力计的示数F（单位：N）有什么变化，并填写下表：以L的数值为横坐标，以F的数值为纵坐标建立直角坐标系，在坐标系内描出以上表中的数对为坐标的各点，用平滑曲线连接这些点；这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？点（50，4.9）在这条曲线上吗？是，因为它是双曲线的一支，点（50,4.9）在这条曲线上.2.自学：学生参考活动指导进行活动性学习.3.助学（1）师助生：明了学情：看学生是否能顺利完成实验，关注学生处理实验误差的能力.差异指导：学生4人一组分组实验收集数据，然后各自完成后续活动任务.（2
5、）生助生：小组内互相交流.4.强化：弹簧秤的示数F与它到点O的距离L成反比.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生回答问题，动手操作能力等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本节课通过数学活动，利用双曲线来探索数量关系.在探索矩形顶点的运动轨迹这一活动中，我们通过描点、作图、算面积来感受面积为定值的矩形的长与宽与反比例函数的关系.在探索力与力到支点距离的关系活动中，我们通过建立反比例函数模型来解释杠杆平衡原理.整个活动过程应充分发挥学生的主动性，对活动过程中存在问题的学生及时给予帮助
6、，增强与学生的互动与交流.一、基础巩固（60分）1.(10分)如图是反比例函数y=在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC的面积为2，则k=-2. 第1题图 第2题图2.（10分）如图，若点A在反比例函数y=(k0)的图象上，AMx轴于点M，AMO的面积为3，则k=-6.3.（20分）如图：李老师家有个边长为4米的正方形院子AOBC，他想在院子里修建一个矩形水池DOEF，水池一面DO靠墙AO，另一面OE靠墙OB，设OD=x（米），OE=y（米）.（1）若矩形水池的面积为2平方米，则y与x的函数关系式为：，在图中画出能建水池的F点的位置,并用l1标记；（2）若周长为6米（包含两边靠墙的地方），则
7、y与x的关系式为y=-x+3，在图中画出满足条件的水池一角F的所有位置,并用l2标记；（3）有没有同时满足条件（1）（2）的水池?若有请帮忙找出这一点，并在图中画出来；若没有，请说明理由.解：存在两点M(1,2)和N(2，1)同时满足条件（1）（2）.4.（20分）如图1，张老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B与点O的距离x(cm)，观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况实验数据记录如下表：（1）把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，描在如
8、图2所示的坐标系中，并用平滑的曲线将这些点连接起来；（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系；（3）当砝码的质量为50 g时，活动托盘B与点O的距离是多少？（4）当活动托盘B往右移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？解：（1）如图；（2）;(3)当y=50 g时，由得x=6(cm);(4)减少砝码.二、综合应用（20分）5.（20分）如图1，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：（1）
9、把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2所示的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）当弹簧测力计的示数为24N时，弹簧测力计与点O的距离是多少厘米？随着弹簧测力计与O点的距离不断减小，弹簧测力计的示数将发生怎样的变化？解：（1）y与x成反比例函数关系，y=300x.(2)当y=24N时，由y=得x=12.5（cm），弹簧测力计的示数不断变大.三、拓展延伸（20分）6.（20分）2010年世博会期间，上海黄浦江上出现一艘白色的豪华游船在水中徜徉，高高扬起的风帆由太阳能电池板拼装而成，天气晴好之时，航行所用的动力可完全使用太阳能.图1是游船的某一部件的设计图纸（其中A，B，C是直角，DE是双曲线的一部分，AE的长为30 cm，AB的长为40 cm，BC的长为60 cm）（1）请你求出DC的长；（2）如图2所示，有一块矩形材料ABCD，其中AB=40 cm、AD=60 cm，在距AD边15 cm、距CD边10 cm处有一小孔，请你判断此材料是否可用，请说明理由.解：（1）以点B为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则E点坐标为（30，40），曲线DE的关系式为,D点的横坐标为60，,DC的长为20 cm；(2)可用，小孔坐标为（50,25），所处位置在图1图形ABCDE之外.
