1、第一章 第三节 极限运算 一 极限的四则运算法则 三 两个重要极限 四 无穷小的比较 二 复合函数的极限运算法则 一 极限的四则运算法则 则有 证 因 则有 其中 为无穷小 于是 由无穷小之和仍无穷小 可知 也是无穷小 再利用极限与无穷小 的关系定理 知定理结论成立 定理1 若 定理2 若 则有 提示 利用极限与无穷小关系定理证明 说明 定理4可推广到有限个函数相乘的情形 推论1 C为常数 推论2 n为正整数 证 例1 求 例2 设n次多项式 试证 证 1 多项式型 为无穷小 定理3 若 且B 0 则有 证 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 得 为无穷小 注1 以上
2、结论均在limf x limg x 存在的前提下成立 2 极限的加 减 乘运算法则可推广到有限个函数情形 定理 例4 设有分式函数 其中 都是 多项式 试证 证 说明 若 不能直接用商的运算法则 若 例3 求 2 分母极限不为0型 例如 x 3时分母为0 例5 分子也为0 3 型 约去公因子 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系 得 例6 约去公因子法也不能用 4 利用无穷小 无穷大运算性质求极限 但因 解 4 x 3时 分母 0 分子 0 但因 解 3 x 1时 分母 0 分子 0 例7 解 例8求 解 原式 消去零因子法 5 例9 求 解 时 分子 分子分母同除以 则 分母 原式 无
3、穷小因子分出法 为非负常数 一般有如下结果 0 6 型 无穷小分出法 以分母中自变量的最高次幂除分子 分母 以分出无穷小 然后再求极限 定理4 若 则有 提示 因为数列是一种特殊的函数 故此定理可由 定理3 4 5直接得出结论 解 例10 原式 2 7 无穷项之和 不能用和的极限运算法则 例11 解 左右极限存在且相等 8 利用左右极限求分段函数极限 二 复合函数的极限运算法则 例12 求 解 法1 时 则 法2 时 则 换元法 将原式中的x都用u代替 将关于x的极限过程改为关于u的极限过程 定理5 设 且x满足 时 又 则有 证 当 时 有 当 时 有 对上述 取 则当 时 故 因此 式成立
4、 定理5 设 且x满足 时 又 则有 说明 若定理中 则类似可得 例13 求 解 令 已知 原式 例14 求 解 法1 则 令 原式 法2 时 时 例15 设 n 1 2 试证数列极限存在 并求此极限 证 由 及 知 设对某正整数k有 则有 故由归纳法 对一切正整数n 都有 即 为单调减少数列 且 解得 所以 例16 设 证明 存在并求此极限 证明 2 消去零因子法 1 极限四则运算法则 2 求函数极限的方法 3 对 型 约去公因子 分子分母同除分母最高次幂 Th1 Th2 Th3 Th4 总结 作业P33习题1 3中第1题 4 型 无穷小因子分出法 5 无穷项之和 变形后求极限 1 多项式与分式函数 分母不为0 代入法求极限 7 利用左右极限求分段函数极限 6 利用无穷小 无穷大运算性质求极限 8 复合函数极限求法 设中间变量 思考及练习 1 是否存在 为什么 答 不存在 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 与已知条件 矛盾 解 原式 2 问
