1、初中数学平面几何之-中点问题 口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ABC的中线，则SABD=SACD=SABC（因为ABD与ACD是等底同高的）。例1如图2，ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中线。已知ABC的面积为2，求：CDF的面积。解：因为AD是ABC的中线，所以SA
2、CD=SABC=2=1，又因CD是ACE的中线，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中线，所以SCDF=SCDE=1=。CDF的面积为。（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：BGE=CHE。证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，ME是BCD的中位线，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位线，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，从而BGE=CHE。（三）、由中线应想到延长中线例3图4，已知ABC中，AB=5，AC=3，
3、连BC上的中线AD=2，求BC的长。解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=22=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，从而BE=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90，BD=，故BC=2BD=2。例4如图5，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。证明：延长AD到E，使DE=AD。仿例3可证：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜边中线的性质例5如图6，已知梯形AB
4、CD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtABD，RtABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（六）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。例一：如图4-1：AD为ABC的中线，且1=2，3=4，求证：BE+CFEF。证明：廷长ED至M，使DM=
5、DE，连接CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD（中点定义）1=5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）BDECDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义）3+2=90即：EDF=90FDM=EDF=90在EDF和MDF中ED=MD（辅助线作法）EDF=FDM（已证）DF=DF（公共边）EDFMDF（SAS）EF=MF（全等三角形对应边相等）在CMF中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例二：如图5-1：AD为
6、ABC的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CEAD为ABC的中线（已知）BD=CD（中线定义）在ACD和EBD中BD=CD（已证）1=2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。练习：1 如图，AB=6，AC=8，D为BC 的中点，求AD的取值范围。BADC862 如图，AB=CD，E为BC的中点，BAC=BCA，求证：AD=2AE。BECDA 3 如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，BAC=DAE=90。求证：AMDC。DMCDEDADBD4，已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。 ABDCEF5已知：如图AD为ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC
