1、第 1 页（共 69 页）三角函数与二次函数专题一解答题（共 30 小题）1 （2012泾川县校级模拟）计算：（1） （2） 2 （1998四川）求 的值3 （2013常德）如图，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，C=45，sinB= ，AD=1（1）求 BC 的长；（2）求 tanDAE 的值第 2 页（共 69 页）4 （2013渝中区校级模拟）如图，在 ABC 中，C=30，ADBC 于D，cosB= ，BD=6 ，求 DC 的长 （结果保留根号）5 （2013重庆模拟）如图，在 RtABC 中，C=90，D 是 BC 边上一点，AC=2，CD=1，设
2、CAD=a（1）求 sina、cosa、tana 的值；（2）若B= CAD，求 BD 的长6 （2013南岸区校级模拟）如图，AD 是 ABC 中 BC 边上的高，且B=30， C=45，CD=2求 BC 的长7 （2011枣庄）如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC， A=90，AB=AD=6，DE DC 交AB 于 E，DF 平分EDC 交 BC 于 F，连接 EF（1）证明：EF=CF；（2）当 tanADE= 时，求 EF 的长第 3 页（共 69 页）8 （2013娄底） 2013 年 3 月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面 A、B
3、两个探测点探测到 C 处有生命迹象已知 A、B两点相距 4 米，探测线与地面的夹角分别是 30和 45，试确定生命所在点 C 的深度 （精确到 0.1 米，参考数据： ）9 （2013眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长 500 米，高 10 米，背水坡的坡角为 45的防洪大堤（横断面为梯形 ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 米，加固后背水坡 EF 的坡比 i=1： （1）求加固后坝底增加的宽度 AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）10 （2013鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园
4、内的滑滑板的倾斜度由45降为 30，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、B 、C 在同一水平地面上求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01） （参考数据： =1.414， =1.732， =2.449）第 4 页（共 69 页）11 （2011宁德）图 1 是安装在斜屋面上的热水器，图 2 是安装该热水器的侧面示意图已知，斜屋面的倾斜角为 25，长为 2.1 米的真空管 AB 与水平线 AD 的夹角为 40，安装热水器的铁架水平横管 BC 长 0.2 米，求（1）真空管上端 B 到 AD 的距离（结果精确到 0.01 米） ；（2）铁架垂直管 CE 的长（结果精确到 0.01 米
5、） 12 （2011巴中）某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长 BC=20m，斜坡上的影长CD=8m，已知斜坡 CD 与操场平面的夹角为 30，同时测得身高 l.65m 的学生在操场 上的影长为 3.3m求旗杆 AB 的高度 （结果精确到 1m）（提示：同一时刻物高与影长成正比参考数据： 1.414. 1.732. 2.236）13 （2011通州区二模）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图 ） ，该居民楼的一楼是高 6 米的小区超市，超市以上是居民住房在该楼的前面 15 米处要盖一栋高 20 米的新楼当冬季正
6、午的阳光与水平线的夹角为 32时（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据： ）第 5 页（共 69 页）14 （2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，其对称轴与 x 轴相交于点 M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，
7、请说明理由15 （2015阜新）如图，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B，交 y 轴于点C（0，3） （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在抛物线上，且 SAOP=4SBOC，求点 P 的坐标；（3）如图 b，设点 Q 是线段 AC 上的一动点，作 DQx 轴，交抛物线于点 D，求线段 DQ长度的最大值第 6 页（共 69 页）16 （2015内江）如图，抛物线与 x 轴交于点 A（ ，0） 、点 B（2，0） ，与 y 轴交于点C（0，1） ，连接 BC（1）求抛物线的函数关系式；（2）点 N 为抛物线上的一个动点，过点 N 作 NPx 轴于点 P，设点
8、 N 的横坐标为t（ t2） ，求 ABN 的面积 S 与 t 的函数关系式；（3）若 t2 且 t0 时OPN COB，求点 N 的坐标17 （2015宁德）已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，O 是坐标原点，点 A 的坐标是（ 1，0） ，点 C 的坐标是（0， 3） （1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线 BC 的函数表达式和ABC 的度数；（3）P 为线段 BC 上一点，连接 AC，AP，若 ACB=PAB，求点 P 的坐标第 7 页（共 69 页）18 （2015德阳）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）与 x 轴交于点
9、A（1，0）和点B（3，0） ，与 y 轴交于点 C，且 OC=OB（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标；（3）点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此抛物线上，求点 P 的坐标19 （2015青海）如图，二次函数 y=ax2+bx3 的图象与 x 轴交于 A（1，0） ，B （3，0）两点，与 y 轴交于点 C该抛物线的顶点为 M（1）求该抛物线的解析式；（2）判断BCM 的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点
10、P，使得以点 P、A、C 为顶点的三角形与 BCM 相似？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 8 页（共 69 页）20 （2015广元）如图，已知抛物线 y= （x+2） （x m） （m0）与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧（1）若抛物线过点 G（2，2 ） ，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：求出ABC 的面积；在抛物线的对称轴上找一点 H，使 AH+CH 最小，并求出点 H 的坐标；（3）在第四现象内，抛物线上是否存在点 M，使得以点 A、B、M 为顶点的三角形与ACB 相似？若存在，求 m 的值；
11、若不存在，请说明理由21 （2015赤峰）已知二次函数 y=ax2+bx3a 经过点 A（1，0） 、C （0，3） ，与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D（1）求此二次函数解析式；（2）连接 DC、BC、DB，求证： BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 9 页（共 69 页）22 （2015鄂州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y轴交于点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、C 两点，与 x
12、轴的另一交点为点 B（1）直接写出点 B 的坐标；求抛物线解析式（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC 求PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标（3）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由23 （2015大庆）已知二次函数 y=x2+bx4 的图象与 y 轴的交点为 C，与 x 轴正半轴的交点为 A，且 tanACO=（1）求二次函数的解析式；（2）P 为二次函数图象的顶点，Q 为其对称轴上的一点，QC 平分PQO ，求 Q 点
13、坐标；（3）是否存在实数 x1、x 2（x 1x 2） ，当 x1xx2 时，y 的取值范围为 y ？若存在，直接写在 x1，x 2 的值；若不存在，说明理由第 10 页（共 69 页）24 （2015曲靖）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ly 轴于点 B（0，2） ，A 为 OB的中点，以 A 为顶点的抛物线 y=ax2+c 与 x 轴交于 C、D 两点，且 CD=4，点 P 为抛物线上的一个动点，以 P 为圆心，PO 为半径画圆（1）求抛物线的解析式；（2）若P 与 y 轴的另一交点为 E，且 OE=2，求点 P 的坐标；（3）判断直线 l 与P 的位置关系，并说明理由25 （2
14、015葫芦岛）如图，直线 y= x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线y=ax2+ x+c 经过 B、C 两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当 BEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标和BEC 面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M，连接 AM，点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由第 11 页（共 69 页）26 （2015安顺）如图，抛物线 y
15、=ax2+bx+ 与直线 AB 交于点 A（1，0） ，B （4， ） ，点D 是抛物线 A，B 两点间部分上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，直线 CD 与 y 轴平行，交直线 AB 于点 C，连接 AD，BD（1）求抛物线的解析式；（2）设点 D 的横坐标为 m，ADB 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求出当 S取最大值时的点 C 的坐标27 （2015深圳）如图 1，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 经过点 A（3，0） ，点 C（0，3） ，点 D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上（1）求抛物线的解析式；（2）DE 上是否存在点
16、P 到 AD 的距离与到 x 轴的距离相等？若存在求出点 P，若不存在请说明理由；（3）如图 2，DE 的左侧抛物线上是否存在点 F，使 2SFBC=3SEBC？若存在求出点 F 的坐标，若不存在请说明理由第 12 页（共 69 页）28 （2015潍坊二模）已知：m、n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且 mn，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点 A（m ，0） 、B（0，n） （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C、D 的坐标和BCD 的面积；（注：抛物线 y=ax2+bx+c（a 0）的顶点坐标为（3）P
17、 是线段 OC 上的一点，过点 P 作 PHx 轴，与抛物线交于 H 点，若直线 BC 把PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分，请求出 P 点的坐标29 （2015剑川县三模）已知：如图所示，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为A（1，0） ，B（3，0） （1）求抛物线的解析式；（2）设点 P 在该抛物线上滑动，且满足条件 SPAB=1 的点 P 有几个？并求出所有点 P 的坐标；（3）设抛物线交 y 轴于点 C，问该抛物线对称轴上是否存在点 M，使得 MAC 的周长最小？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由第 13 页（共 69 页）30 （2015潍坊模
18、拟）如图 1，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象的顶点为 D 点，与 y轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，B 点的坐标为（3 ，0） ，OB=OC，tan ACO= （1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，求点 E 的坐标（3）平行于 x 轴的直线与抛物线交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切，求圆的半径（4）如图 2，若点 G（2，y ）是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时 P 点的坐标和 APG 的最大面积第 14 页（共 69
19、 页）参考答案与试题解析一解答题（共 30 小题）1 （2012泾川县校级模拟）计算：（1） （2） 【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；二次根式的混合运算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】 （1）把 tan30= ，sin60= ，cos60= 代入，然后分母有理化后合并同类二次根式即可；（2）根据零指数幂和 sin45= 得到原式=1+2 6 +（1） ，再进行乘法运算后合并即可【解答】解：（1）原式= += +=2 +=2；（2）原式=1+2 6 +（ 1）=1+2 3 1= 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：tan30= ， sin45= ，sin60 = ，cos60
20、= 也考查了零指数幂以及二次根式的混合运算2 （1998四川）求 的值【考点】特殊角的三角函数值菁优网版权所有【专题】压轴题；探究型【分析】先把各特殊角的三角函数值值代入，再按照实数混合运算的法则进行计算即可【解答】解：原式= =2 4第 15 页（共 69 页）【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键3 （2013常德）如图，在 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，C=45，sinB= ，AD=1（1）求 BC 的长；（2）求 tanDAE 的值【考点】解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）先由三角形的
21、高的定义得出ADB=ADC=90，再解 RtADC，得出DC=1；解 RtADB，得出 AB=3，根据勾股定理求出 BD=2 ，然后根据 BC=BD+DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DE=CECD，然后在 RtADE 中根据正切函数的定义即可求解【解答】解：（1）在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，ADB=ADC=90在ADC 中，ADC=90 ， C=45，AD=1 ，DC=AD=1在ADB 中，ADB=90 ， sinB= ，AD=1 ，AB= =3，BD= =2 ，BC=BD+DC=2 +1；（2）AE 是 BC 边上的中线，CE= BC= + ，D
22、E=CECD= ，tanDAE= = 【点评】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解 RtADC 与 RtADB，得出 DC=1，AB=3 是解题的关键第 16 页（共 69 页）4 （2013渝中区校级模拟）如图，在 ABC 中，C=30，ADBC 于D，cosB= ，BD=6 ，求 DC 的长 （结果保留根号）【考点】解直角三角形菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】在直角ABD 中，cos B= ，BD=6，可得，AB=10，AD=8，在直角ACD 中，CD=cot30AD，解答出即可【解答】解：AD BC 于 D，cos B= ，BD=6，在直
23、角ABD 中，得，AB= = =10，AD= = =8，在直角ACD 中， C=30，CD=cot30AD，= 8，= 【点评】本题主要考查了直角三角形勾股定理及三角函数的应用，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键5 （2013重庆模拟）如图，在 RtABC 中，C=90，D 是 BC 边上一点，AC=2，CD=1，设CAD=a（1）求 sina、cosa、tana 的值；（2）若B= CAD，求 BD 的长【考点】解直角三角形菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】 （1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解（2）由B= CAD= 和（1）求得的 tan，根据直角三角形锐角三角函数求
24、出 BC，从而求出 BD 的长【解答】解：在 RtACD 中，AC=2，DC=1，AD= = 第 17 页（共 69 页）（1）sin= = = ，cos= = = ，tan = = ；（2）在 RtABC 中，tanB= ，即 tan= = ，BC=4，BD=BCCD=41=3【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻辑推理能力和运算能力6 （2013南岸区校级模拟）如图，AD 是 ABC 中 BC 边上的高，且B=30， C=45，CD=2求 BC 的长【考点】解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】先在 RtACD 中，运用正切函数的定义得出 AD
25、=CD=2，然后在 RtABD 中，运用正切函数的定义得出 BD= ，则根据 BC=BD+CD 即可求解【解答】解：AD 是ABC 中 BC 边上的高，ADBC，ADB=ADC=90在 RtACD 中，tanC= = =tan45=1，AD=2在 RtABD 中，tanB= = =tan30= ，BD= BC=BD+CD= +2，即 BC 的长为 +2【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系第 18 页（共 69 页）7 （2011枣庄）如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC， A=90，AB=AD=6，DE DC 交AB 于 E，DF 平分EDC 交 BC
26、于 F，连接 EF（1）证明：EF=CF；（2）当 tanADE= 时，求 EF 的长【考点】解直角三角形；全等三角形的判定；勾股定理；直角梯形菁优网版权所有【专题】计算题；证明题；压轴题【分析】 （1）过 D 作 DGBC 于 G，由已知可得四边形 ABGD 为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明ADEGDC ，接着利用全等三角形的性质证明EDF CDF，（2）由 tanADE= 根据已知条件可以求出 AE=GC=2设 EF=x，则BF=8CF=8x，BE=4在 RtBEF 中根据勾股定理即可求出 x，也就求出了 EF【解答】 （1）证明：过 D 作 DGBC 于 G由已知可得四边形
27、ABGD 为正方形，DEDCADE+EDG=90=GDC+EDG，ADE=GDC又A= DGC 且 AD=GD，ADEGDC，DE=DC 且 AE=GC在EDF 和 CDF 中，EDFCDF，EF=CF；（2）解：tanADE= = ，AE=GC=2BC=8，BE=4，设 CF=x，则 BF=8CF=8x，在 RtBEF 中，由勾股定理得：x 2=（8x） 2+42，第 19 页（共 69 页）解得 x=5，即 EF=5【点评】本题考查梯形、正方形、直角三角形的相关知识解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解8 （2013娄底） 20
28、13 年 3 月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面 A、B 两个探测点探测到 C 处有生命迹象已知 A、B 两点相距 4 米，探测线与地面的夹角分别是 30和 45，试确定生命所在点 C 的深度 （精确到0.1 米，参考数据： ）【考点】解直角三角形的应用菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】过点 C 作 CDAB 于点 D，设 CD=x，在 RtACD 中表示出 AD，在 RtBCD 中表示出 BD，再由 AB=4 米，即可得出关于 x 的方程，解出即可【解答】解：过点 C 作 CDAB 于点 D，设 CD=x，在 RtACD 中， CAD=30，
29、则 AD=CDcot30= CD= x，在 RtBCD 中， CBD=45，则 BD=CD=x，由题意得，ADBD=AB，即 xx=4，解得：x= =2（ +1） 5.5答：生命所在点 C 的深度为 5.5 米第 20 页（共 69 页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用9 （2013眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长 500 米，高 10 米，背水坡的坡角为 45的防洪大堤（横断面为梯形 ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 米
30、，加固后背水坡 EF 的坡比 i=1： （1）求加固后坝底增加的宽度 AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题菁优网版权所有【专题】应用题；压轴题【分析】 （1）分别过 E、D 作 AB 的垂线，设垂足为 G、 H在 RtEFG 中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽 FG 的长；同理可在 RtADH 中求出 AH 的长；由 AF=FG+GHAH 求出 AF 的长（2）已知了梯形 AFED 的上下底和高，易求得其面积梯形 AFED 的面积乘以坝长即为所需的土石的体积【解答】解：（1）分别过点 E、D 作 EGAB、D
31、H AB 交 AB 于 G、H四边形 ABCD 是梯形，且 ABCD，DH 平行且等于 EG 故四边形 EGHD 是矩形 ED=GH 在 RtADH 中，AH=DHtanDAH=10tan45=10（米） 在 RtFGE 中，第 21 页（共 69 页）i= = ，FG= EG=10 （米） AF=FG+GHAH=10 +310=10 7（米） ；（2）加宽部分的体积 V=S 梯形 AFED坝长= （3+10 7） 10500=25000 10000（立方米） 答：（1）加固后坝底增加的宽度 AF 为（10 7）米；（2）完成这项工程需要土石（25000 10000）立方米【点评】此题主要考查
32、学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力10 （2013鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45降为 30，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、B 、C 在同一水平地面上求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01） （参考数据： =1.414， =1.732， =2.449）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】在 RtABC 中，根据 AB=5 米，ABC=45，求出 AC 的长度，然后在 RtADC中，解直角三角形求 AD 的长度，用 ADAB 即可求出滑板加长的长度【解答】解：在 RtABC 中，AB=5，A
33、BC=45 ，AC=ABsin45=5 = ，在 RtADC 中， ADC=30，AD= =5 =51.414=7.07，ADAB=7.075=2.07（米） 答：改善后滑滑板约会加长 2.07 米【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键第 22 页（共 69 页）11 （2011宁德）图 1 是安装在斜屋面上的热水器，图 2 是安装该热水器的侧面示意图已知，斜屋面的倾斜角为 25，长为 2.1 米的真空管 AB 与水平线 AD 的夹角为 40，安装热水器的铁架水平横管 BC 长 0.2 米，求（1）真空管上端 B 到 AD 的距离
34、（结果精确到 0.01 米） ；（2）铁架垂直管 CE 的长（结果精确到 0.01 米） 【考点】解直角三角形的应用；矩形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合【分析】 （1）过 B 作 BFAD 于 F构建 RtABF 中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案（2）根据 BF 的长可求出 AF 的长，再判定出四边形 BFDC 是矩形，可求出 AD 与 ED 的长，再用 CD 的长减去 ED 的长即可解答【解答】解：（1）过 B 作 BFAD 于 F在 RtABF 中，sinBAF= ，BF=ABsinBAF=2.1sin401.350真空管上端 B 到 AD 的距离约为 1
35、.35 米（4 分）（2）在 RtABF 中，cosBAF= ，AF=ABcosBAF=2.1cos401.609（6 分）BFAD，CD AD，又 BCFD，四边形 BFDC 是矩形BF=CD，BC=FD（7 分）在 RtEAD 中，tanEAD= ，ED=ADtanEAD=1.809tan250.844（9 分）CE=CDED=1.3500.844=0.5060.51安装铁架上垂直管 CE 的长约为 0.51 米（10 分）第 23 页（共 69 页）【点评】本题以常见的太阳能为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用
36、12 （2011巴中）某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长 BC=20m，斜坡上的影长CD=8m，已知斜坡 CD 与操场平面的夹角为 30，同时测得身高 l.65m 的学生在操场 上的影长为 3.3m求旗杆 AB 的高度 （结果精确到 1m）（提示：同一时刻物高与影长成正比参考数据： 1.414. 1.732. 2.236）【考点】解直角三角形的应用菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据已知条件，过 D 分别作 BC、AB 的垂线，设垂足为 E、F；在 RtDCE 中，已知斜边 CD 的长，和DCE 的度数，满足解
37、直角三角形的条件，可求出 DE、CE 的长即可求得 DF、BF 的长；在 RtADF 中，根据同一时刻物高与影长成正比求出 DF 的长，即可求得 AF 的长，进而 AB=AF+BF 可求出【解答】解：过 D 作 DE 垂直 BC 的延长线于 E，且过 D 作 DFAB 于 F，在 RtDEC 中， CD=8 米， DCE=30DE=4 米，CE=4 米，BF=4 米，DF=（20+4 ）米，身高 l.65m 的学生在操场 上的影长为 3.3m = ，则 AF=（10+2 ）米，AB=AF+BF=10+2 +4=（14+2 ）17 米电线杆的高度为 17 米第 24 页（共 69 页）【点评】本
38、题考查了把实际问题转化为数学问题的能力，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形13 （2011通州区二模）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图 ） ，该居民楼的一楼是高 6 米的小区超市，超市以上是居民住房在该楼的前面 15 米处要盖一栋高 20 米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 32时（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据： ）【考点】解直角三角形的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】 （1）利用三角函数算出阳光可能照到居民
39、楼的什么高度，和 6 米进行比较（2）超市不受影响，说明 32的阳光应照射到楼的底部，根据新楼的高度和 32的正切值即可计算【解答】解：（1）如图，设 CE=x 米，则 AF=（20x）米， ，即 20x=15tan32，x11，116 ，居民住房的采光有影响（2）如图：， =32（米） 故两楼应相距 32 米第 25 页（共 69 页）【点评】本题考查锐角三角函数的应用需注意直角三角形的构造是常用的辅助线方法14 （2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，其对称轴与 x 轴相交于点 M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对
40、称轴上是否存在一点 P，使PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）抛物线经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，C（5，0） ，可利用两点式法设抛物线的解析式为 y=a（x1） （x 5） ，代入 A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点 A 关于对称轴的对称点 A的坐标为（6，4） ，连接 BA交对称轴于点 P，连接AP，此时PAB
41、 的周长最小，可求出直线 BA的解析式，即可得出点 P 的坐标（3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（t， t2 t+4） （0t 5） ，再求得直线 AC 的解析式，即可求得 NG 的长与ACN 的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 y=a（x1） （x 5） ，第 26 页（共 69 页）把点 A（0，4）代入上式得： a= ，y= （x 1） （x5）= x2 x+4= （x3） 2 ，抛物线的对称轴是：x=3 ；（2）P 点坐标为（3， ） 理由如下：点 A（ 0，
42、4） ，抛物线的对称轴是 x=3，点 A 关于对称轴的对称点 A的坐标为（6，4）如图 1，连接 BA交对称轴于点 P，连接 AP，此时PAB 的周长最小设直线 BA的解析式为 y=kx+b，把 A（6，4） ，B（1，0）代入得 ，解得 ，y= x ，点 P 的横坐标为 3，y= 3 = ，P（ 3， ） （3）在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 t，此时点 N（t， t2 t+4） （0t 5） ，如图 2，过点 N 作 NGy 轴交 AC 于 G；作 ADNG 于 D，第 27 页（共 69 页）由点 A（0，4）和点 C（5，0）可求出直
43、线 AC 的解析式为：y= x+4，把 x=t 代入得： y= t+4，则 G（t ， t+4） ，此时：NG= t+4（ t2 t+4）= t2+4t，AD+CF=CO=5，SACN=SANG+SCGN= ADNG+ NGCF= NGOC= （ t2+4t）5= 2t2+10t=2（t ）2+ ，当 t= 时，CAN 面积的最大值为 ，由 t= ，得：y= t2 t+4=3，N（ ， 3） 【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用15 （2015阜新）如图，抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B，交 y
44、轴于点C（0，3） （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在抛物线上，且 SAOP=4SBOC，求点 P 的坐标；（3）如图 b，设点 Q 是线段 AC 上的一动点，作 DQx 轴，交抛物线于点 D，求线段 DQ长度的最大值第 28 页（共 69 页）【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）把点 A、C 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设 P 点坐标为（x， x22x+3） ，根据 SAOP=4SBOC 列出关于 x 的方程，解方程求出x 的值，进而得到点 P 的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式
45、为 y=x+3，再设 Q 点坐标为（x，x+3） ，则D 点坐标为（x，x 2+2x3） ，然后用含 x 的代数式表示 QD，根据二次函数的性质即可求出线段 QD 长度的最大值【解答】解：（1）把 A（3，0） ，C（0，3）代入 y=x2+bx+c，得，解得 故该抛物线的解析式为：y=x 22x+3（2）由（1）知，该抛物线的解析式为 y=x22x+3，则易得 B（1，0） SAOP=4SBOC， 3|x22x+3|=4 13整理，得（x+1） 2=0 或 x2+2x7=0，解得 x=1 或 x=12 则符合条件的点 P 的坐标为：（1，4）或（1+2 ， 4）或（ 12 ，4） ；（3）设
46、直线 AC 的解析式为 y=kx+t，将 A（3，0） ，C （0，3）代入，第 29 页（共 69 页）得 ，解得 即直线 AC 的解析式为 y=x+3设 Q 点坐标为（x，x+3 ） ， （ 3x0） ，则 D 点坐标为（x，x 22x+3） ，QD=（x 22x+3） （x+3）= x23x=（x+ ） 2+ ，当 x= 时，QD 有最大值 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想16 （2015内江）如图，抛物线与 x 轴交于点 A（ ，0） 、点 B（2，0） ，与 y 轴交于点C（0，1） ，连接 BC（1）求抛物线的函数关系式；（2）点 N 为抛物线上的一个动点，过点 N 作 NPx 轴于点 P，设点 N 的横坐标为t（ t2） ，求 ABN 的面积 S 与 t 的函数关系式；（3）若 t2 且 t0 时OPN COB，求点 N 的坐标【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】 （1）可设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，然后只需运用待定系数法就可解决问题；第 3
