1、 1 .3 数 列 极 限 是 否 存 在 的 条 件在 研 究 比 较 复 杂 的 数 列 极 限 问 题 时 ， 通 常 先 考 察 该 数 列 是 否 有 极 限(极 限 的 存 在 性 问 题 )；若 极 限 存 在 ， 再 考 虑 如 何 计 算 此 极 限 (极 限 值 的 计 算 问 题 )。 这 是 极限 理 论 的 两 个 基 本 问 题 。在 实 际 应 用 中 ， 解 决 了 数 列 极 限 的 存 在 性 问 题 之 后 ， 即 使 极 限 的 计算 较 为 困 难 ， 但 由 于 当 充 分 大 时 ， 能 充 分 接 近 其 极 限 ， 故 可 用 作 为 的近 似
2、 值 。为 了 确 定 某 个 数 列 是 否 存 在 极 限 ， 当 然 不 可 能 将 每 一 个 实 数 依 定 义一 一 验 证 ， 根 本 的 办 法 是 直 接 从 数 列 本 身 的 特 征 来 作 出 判 断 。若 数 列 的 各 项 满 足 关 系 户 式 则 称 为 递 增 （ 递 减 ） 数 列 。 递 增 数 列 和递 减 数 列 统 称 为 单 调 数 列 。定 理 1 （ 单 调 有 界 定 理 ） 单 调 有 界 数 列 必 收 敛 （ 必 有 极 限 ） 。证 明 ： 不 妨 设 为 有 上 界 的 递 增 数 列 。由 确 界 原 理 ， 数 列 有 上 确
3、界 ， 记 。 下 面 证 明 。 事 实 上 ， ， 按 上 确界 的 定 义 ， 存 在 中 某 一 项 ， 使 得 。 又 由 的 递 增 性 ， 当 时 有 。另 一 方 面 ， 由 于 是 的 一 个 上 界 ， 故 对 一 切 都 有 。 从 而 当 时 有 。这 就 证 明 了 。同 理 可 证 有 下 界 的 递 减 数 列 必 有 极 限 ， 且 其 极 限 为 它 的 下 确 界 。例 1 求 解 ： 由 均 值 不 等 式 , 得 有 下 界 ;不 偿 失 注 意 到 对 有 并 且 ,故例 2 数 列 单 调 有 界 性 .证 明 : 设 应 用 二 项 式 展 开 ，
4、 得 ，+注 意 到 且 比 多 一 项 即 .有 界 .综 上 , 数 列 单 调 有 界 .单 调 有 界 定 理 只 是 数 列 收 敛 的 充 分 条 件 。 下 面 给 出 在 实 数 系 中 数 列收 敛 的 充 分 必 要 条 件 。定 理 2 （ 柯 西 Ca uchy 收 敛 准 则 ） 数 列 收 敛 的 充 要 条 件 是 ： ， 使 得 当 时有 。这 个 定 理 从 理 论 上 完 全 解 决 了 数 列 极 限 的 存 在 问 题 。柯 西 收 敛 准 则 的 条 件 称 为 柯 西 条 件 ， 它 反 映 的 事 实 ： 收 敛 数 列 各 项的 值 愈 到 后
5、面 ， 彼 此 愈 是 接 近 ， 以 至 充 分 后 面 的 任 何 两 项 之 差 的 绝 对值 可 小 于 预 先 给 定 的 任 意 小 正 数 。柯 西 收 敛 准 则 把 定 义 中 与 的 关 系 换 成 了 与 的 关 系 ， 其 好 处 在 于 无 需借 助 数 列 以 外 的 数 ， 只 要 根 据 数 列 本 身 的 特 征 就 可 以 鉴 别 其 收 敛 性 。例 3 ： 证 明 任 一 无 限 十 进 小 数 的 位 不 足 近 似 所 组 成 的 数 列(2 )满 足 柯 西 条 件 (从 而 收 敛 )， 其 中 为 中 的 一 个 数 ， 。证 明 ： 记 。
6、不 妨 ， 则 有对 任 给 的 ， 取 ， 则 对 一 切 有 。 这 就 证 明 了 数 列 (2 )满 足 柯 西 条 件 。利 用 Ca uchy 收 敛 准 则 求 极 限 的 例 子 。例 3 ： 设 ， ， ， 求 ；解 ： 设 ， 显 然 .由 于 , 则.于 是 ().由 Ca uchy 收 敛 准 则 知 ： 存 在 ， 把 它 记 为 .由 极 限 的 四 则 运 算 ， 在 两 端 同 时 取 极 限 ， 得 注 意 到 ， 故 注 ： Ca uchy 收 敛 准 则 之 所 以 重 要 就 在 于 它 不 需 要 借 助 数 列 以 外 的任 何 数 ,只 须 根 据 数 列 各 项 之 间 的 相 互 关 系 就 能 判 断 该 数 列 的 敛 散 性 .
