1、例说比较指数幂大小的方法贾兴锐对于数，通常容易比较大小，而对于指数幂形式的数不容易比较大小。很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较。如何比较指数幂的大小呢?下面举例说明。一、换元法例 1. 若 zyx532，且 ,yx都是正数，则 z5,y3x2从小到大依次为_。解：令 lgt,lt,lgt,1t,z 所 以则。y3x2,03l2)89(tl3g2lty3x 得。同理可得 z5x,0z5即 。故 z5y。说明：一般的，如果是连等号形式的题目，通常采用换元法的思想去解题，但要注意换元的取值范围。二、化同底指数幂例 2. 设5.1348.025.01 )2(y,y，则（
2、 ）A. 3B. 31yC. 321yD. 2解：本题是比较大小，可化为同底指数幂。由 5.134.128.12y,y，指数函数x2y是增函数，故有 231y，选 D。说明：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断。三、图象法例 3. 下图是指数函数 xay， xb， xcy， xd的图象，则 a、b、c 、d与 1 的大小关系是（ ）A. dcbaB. 1aC. D. c解：因为任何底数的 1 次幂都是底数本身，所以可作直线 x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数。答案选 B。说明：对于不同底而同指数的指数幂的大
3、小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确。四、构造中间量法例 4. 比较 3.01.94与 的大小。解：因 19, 00，所以 3.01.94。说明：当底数与指数都不相同时，选取适当的中间量（通常以 0 或 1 为中间量），从而可间接地比较出要比较的数的大小。五、作商法例 5. 若 0c,1ab0，试比较 acb与 的大小。解：由 ，得cabcab)(,0,。由1)b(,1b,a,1b0 aabab 所 以可 得又acbcab,)(,c即所 以。说明：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与 1 的大小关系，从而确定所比值的大小。一般情况下，这两个值最好
4、都是正数。六、直接利用函数的单调性例 6. 设 1aa,R258比 较 与 0 的大小。解：当 0或 1时，显然 a258。当 a时，若 a，则指数函数 xy在 R 上是单调增函数。01aa,0.a1,0a,1aRy0, 25885252x288 故又得 上 是 单 调 减 函 数在则若 知得综上可知，对任何 1258都 有 成立。说明：指数函数 a)x,a(yx在 时在 R 上是单调增函数；在1a0时在 R 上是单调减函数。指数函数的单调性，在比较实数的大小方面，具有特殊的功效。七、作差法例 7. 设 0nm，且 1a,，试比较 nmaa与 的大小。解： )a()()()a( nmnmn )
5、a)(1a(1mnmn 。当 1a时，由 0,0得 。又 ,mn，从而 0)a)(1a(,amnmmn 可 得 ，所以nmaa。当 01a,10nm得由时 。又 ,a,nn故得 。 nmmm aa,0)(1a( 得。综上所述， na。说明：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法。分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与 1 的大小关系作为分类标准。感悟与提高1. 设 a，b，c 都是正数，且 cba643，则以下正确的是（ ）A. 1B. 12C. b2acD. bac2. 若正实数 a，b 满足 1a,b且 ，则有（ ）A. B. C. D. 不能确定 a，b 的大小关系答案提示：1. 设 1k0,643c且则 ，两边取对数得 ,kloga3,klogb4lc6。所以 b1a2,3log2l6logc,2l4logb1,3la kkkkkk 可 得c2log32kk，选 B。2. blogablogalb。若1blog,a,a而则（因 ）与logab矛盾。同理 a也不可能。因此只有 成立，选 C。
