1、利用换元法证明不等式廖东明 合理换元往往能简化题设的信息、凸显隐含条件、沟通量与量之间的联系，对发现解题思路、优化解题过程具有重要作用换元法在不等式证明中也具有独特的作用一、三角换元在一些代数不等式证明中，选用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，充分利用三角函数的性质可以使问题化难为易例已知 ，求证： 21xy2213xy分析：条件 表示的图形是一个圆环，可采用三角换元，分离出参变量和 ，进而利用同向不等式的乘积法则使问题获解r证明：令 ， ， ，则 ，cosxrsinyr0,)22xyr222y21(sin ， 又 ，1sin13si2r ，即 2()3r22xy点评：三角换元
2、法依据的公式有 ， ，sinco122sectan1等，要求解题者善于类比和联想，并且根据具体问题灵活处理如对条22csot1件 可作三角换元 ， ， xyabexatayb0,)二、代数换元对于那些具有一定结构特色的代数式，根据题目的特点，巧设某些代数式作换元，往往能收到化繁为简化难为易的功效局部式子换元例已知 ， 且 求证： 1a2nN1na分析：注意到 ，作换元 （ ） ，便可凸显关系，简化书写，使问()nax题快捷得解证明：令 ，由 可知 ，nax11n12()x，即 n点评：解题过程中要善于联想和变用，如由 （ ）可211nxx 1以得到恒等式 （ 也满足） 这样，可以开启思12()
3、nnxx路，简化过程均值增量换元例已知 ，求证： yza223ayz分析：由于 在条件等式和待证不等式中都具有轮换对称性，易知不等式在,x时取得等号，在 中 的平均值就是 ，故采用均值增量代3axyzxyza,xyz3a换法证题证明：根据 ，设 ， ， ，其中xyza3，则022222()()()3a()3a2()3a22()3a点评：本例的均值增量代换，首先进行一系列的等式转化，最后利用非负数的性质由相等实现向不等转化，解答自然流畅，且降低了寻找解题突破口的难度简化分母换元例设 是三角形三边的长，求证： ,abc 3abcbca分析：审视待证不等式，字母 具有轮换对称性，易知在 时取得等号，
4、,ac通过对分母换元简化分母，变成容易利用平均值不等式的形式来使问题获解证明：令 ， ， ，则 均为正数，且xyz,xyz， ， ，于是2yzab2c cbcabayxz，当且仅当 、 、1()()()xz1(2)3yxzy即 时取得等号故原不等式成立zxyz点评：通过对分母换元，简化分母， “复杂”分子，为利用平均值不等式创造有利条件，使问题化难为易例若 ， ，求证： 1ab281ab分析：审视待证不等式，字母 具有轮换对称性，令 解得 ，即在,281a2时取得等号，通过对分母换元简化分母，巧妙利用平均值不等式进行证明2b证明： ， ，设 ， ， 、 ，则原不等式1ab1at2btR2t等价于 221()()8tt而 1212()ttt121()tt，即 当且仅当121212()ttt482121()8tt及 及 ，即 亦即 时取得等号21)tt1212tt2t1tab故 281ab点评：本例两次应用平均值不等式，在第二次使用时还使用了叠和（即同向不等式相加）的技巧因此，关注等号成立必须关注三种情形下等号成立的条件要相同或一致
