1、12019 年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 2.复数 （ 为虚数单位）的虚部为（ ）A. B. C. D. 3.双曲线 的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 4.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 5.已知函数 在 上单调递减，且当 时， ，则关于 的不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 87.
2、设 x118，x 219，x 320 ，x 421，x 522，将这 5 个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出 S 的值及其统计意义分别是（ ）A. S2，这 5 个数据的方差 B. S2，这 5 个数据的平均数C. S10，这 5 个数据的方差 D. S10，这 5 个数据的平均数8. 的内角 所对的边分别是 .已知 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 9.已知 ， ， 三点不共线，且点 满足 ，则（ ）A. B. C. D. 10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段 AB2，过点 B
3、作 AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取 BC AB，连接 AC；（2）以 C 为圆心，BC 为半径画弧，交 AC 于点 D；（3）以 A 为圆心，以 AD 为半径画弧，交 AB于点 E则点 E 即为线段 AB 的黄金分割点若在线段 AB上随机取一点 F，则使得 BEAFAE 的概率约为（ ） （参考数据： 2.236）A. 0.236 B. 0.382 C. 0.472 D. 0.61811.已知 为抛物线 ： 的焦点，直线 与曲线 相交于 两点， 为坐标原点，则 （ ）A. B. C. D. 12.已知函数 f（x）（kx+ ）e x2x，若 f（x）0 的解集中有且只有一个正整数，则实数
4、k的取值范围为 （ ）A. ， ） B. （ ， C. ） D. ）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 则 _14.设 满足约束条件 则 的最大值为_15.已知在三棱锥 PABC 中，PA 4，AC ，PB BC ，PA平面 PBC，则三棱锥PABC 的内切球的表面积为_16.已知函数 为奇函数， ，且 与 图象的交点为 ， ，则 _三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分17.设数列 的前 项和为 ， .（1
5、）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .218.在五面体 中，四边形 为矩形， ， ，.（1）证明： 平面 ；（2）求该五面体的体积.19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间 与乘客等候人数 之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间（ ）分钟等候人数（ 人）调查小组先从这 组数据中选取 组数据求线性回归方程，再用剩下的 组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数 ，再求 与实际等候人数 的差，若差值的绝对值不超过 ，则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）从这 组
6、数据中随机选取 组数据后，求剩下的 组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面 组数据，求 关于 的线性回归方程 ，并判断此方程是否是“恰当回归方程” ；（3）为了使等候的乘客不超过 人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， .20.已知点 ， 都在椭圆 ： 上.（1）求椭圆 的方程；（2）过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， （异于顶点） ，记椭圆 与 轴的两个交点分别为 ， ，若直线 与 交于点 ，证明：点 恒在直线 上.21.已知函数 .（1）若曲线 在 处的切线与
7、直线 垂直，求该切线的方程；（2）当 时，证明： .（二）选考题：共 10 分 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为2cosinxy（ 为参数） ，已知点 (4,0)Q，点 P是曲线 1C上任意一点，点 M为 PQ的中点，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点 的轨迹 2的极坐标方程；（2）已知直线 :lykx与曲线 2C交于 ,AB两点，若 3OAB，求 k的值.323.已知函数 f（x ）|x a|+2|x+1|（1）当 a2 时，解不等式 f（x ）4（2）若不等式 f（
8、x ）3x+4 的解集是 x|x2，求 a 的值2019 年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（一）参考答案一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【解析】在集合 中 ，得 ，即 ，在集合 中 在 上递增，且 ，所以 ，即 ,则 故选：D2.【解析】 = ，所以 z 的虚部为 故选：A3.【解析】将双曲线 化成标准方程为： ，得 ， ，所以，所以 ，又该双曲线的焦点在 x 轴上，所以焦点坐标为故选：A4.【解析】因为 ，由诱导公式得 ，所以 .故选：B5.【解析】当 时，由 = ，得 或 （舍）
9、，又因为函数 在上单调递减，所以 的解集为 .故选：D6.【解析】由三视图可知几何体为边长为 2 的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为 234故选：B7. 【解析】根据程序框图，输出的 S 是 x118，x 219，x 320，x421，x 522 这 5 个数据的方差，因为 ，由方差的公式 S 故选：A8.【解析】因为 ，得 ，所以 ，所以 当且仅当 取等号，且 为三角形内角 ，所以 .故选：D9.【解析】已知 ， ， 三点不共线，且点 满足 ，所以= + = ） （ ）+ = ，所以 ,故选：A10.【解析】由勾股定理可得：AC ，由图可知：BCCD 1，ADAE
10、1.236，BE 21.236 0.764，则：0.764AF1.236，由几何概型可得：使得 BEAF AE 的概率约为 =0.236，故选：A11.【解析】联立直线和抛物线方程， 设 ， ，得 因为直线 过抛物线 ： 的焦点 ，由抛物线的性质可知： ，设原点 到直线 的距离 ，所以 . ，故选：C12.【解析】由 f（x）0 的解集中有且只有一个正整数，得（kx+ ）e x2x，即 kx+ 有4且只有一个正整数，令 g（x） ，则 g（x） ，当 x（，1）时，g（x）0，当 x（1，+）时，g（x）0g（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减作出函数 g（x）与 ykx+ 的图
11、象如图所示，ykx+ 的图象过定点 P（0， ） ，A（1， ） ，B（2， ） ， ， 实数 k 的取值范围为 ， ） 故选：A二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13【解析】由函数 得 f（2） ，所以 ，即 ，故答案为：114.【解析】作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数 z2x+y 得 y2x+z，由图象可知当直线 y2x+z 经过点 B 时，截距最大，即 z 最大解方程组 得 x3，y1，即 B（3，1） z 的最大值为 23+17故答案为：715.【解析】由题意，已知 PA面 PBC，且 PA4，PB ，AC ，由勾股定理得AB ，PC ，所以，
12、PBC 为等边三角形，ABC 为等腰三角形， =SPBC PA 4 ，表面积 ，设内切球半径为 r，利用体积相等，即 ，所以 = ，所以 r ，所以三棱锥 PABC 的内切球的表面积为 4 ，故答案为： 16.【解析】 函数 为奇函数， 函数 关于点 对称， 函数 关于点 对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称， 与 图像的交点为 ， ， ,两两关于点 对称， .故答案为：18三、解答题： 17.【解析】 （1）因为 ，所以 （ ，且 ） ，则 （ ，且 ）.即 （ ，且 ）.因为 ，所以 ，即 .所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.故 .（2） ，所以 .所以 ，故 .18.
13、【解析】 （1）在五面体 中，四边形 为矩形，所以 ， .因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ，又 ，故 .因为 ， ， ，所以 ，因为 ，所以 平面 ，又 ，所以 平面 .（2）因为 ， ，所以 ，则 ，延长 到 ，使得 ，连接 ， ，则 ， = ，= = ，所以 - = .519.【解析】解：（1）设“从这 组数据中随机选取 组数据后，剩下的 组数据不相邻”为事件 ，记这六组数据分别为 ， ， ， ， ， ，剩下的两组数据的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 种，其中相邻的有 ， ， ， ， ，共 种，所以 .（2）后面
14、组数据是：间隔时间（ 分钟）等候人数（ 人）因为 ， ， ，所以 ，所以 .当 时， ， ；当 时， ， ，所以求出的线性回归方程是“恰回归方程”.（3）由 ，得 ，故间隔时间最多可设置为 分钟.20.【解析】 （1）由题意得 ，得 ，故椭圆 的方程为 .（2）由题意可设直线 的方程为 ， ， .联立 整理得 .所以 ， ，则 .由题意不妨设 ， ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 .联立 整理得 ，所以 .把代入上式，得 ，当 时，可得 ，当 时，易求 ，即 不符合题意. 综上，故点 恒在直线 上.21.【解析】 （1）因为曲线 在 处的切线与直线 垂直，所以曲线 在 处的切线的斜率为 .
15、又因为 ，所以曲线 在 处的切线方程为 .6（2）因为 ，所以 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增.故 .等价于 ，即 .因为 ，所以 等价于 .设 ，则 .令 ，解得 ；令 ，解得 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减.故 .当 时， ，从而当 时， ，即 .22.【解析】 （1）设 (2cos,in),(PMxy.且点 (4,0)Q，由点 M为 PQ的中点，所以2cos4inxy整理得2()1xy.即2430xy，化为极坐标方程为24cos30.（2）设直线 :lykx的极坐标方程为 .设 12(,)(,)AB，因为 3OAB，所以43OAB，即 12.联立2
16、cos30整理得24cos30.则124cos3解得7s8.所以2215tancos49k，则15k.23.【解析】 （1）当 a2 时，不等式 f（x）4，即|x2|+2|x+1|4， ，或 ，或 解求得 x ，解 求得 x0，解求得 x2，故原不等式的解集为x|x ，或 x0 （2）不等式 f（x）3x+4 ，即|x a|+2|x+1|3x+4 ，不等式 f（x）3x+4 的解集是x|x2，故 x2 是方程 f（x）3x+4 的解，即|2 a|+66+4，求得 a6，或 a2当 a6 时，求得 f（x）3x+4 的解集是x|x2 ，满足题意；当 a2 时，求得 f（x）3x+4 的解集不是x|x2 ，不满足题意，故 a2 应该舍去综上可得，a6
