1、第一章绪论习题练习答案1.1 简述下列概念：数据、数据元素、数据类型、数据结构、逻辑结构、存储结构、线性结构、非线性结构。 数据：指能够被计算机识别、存储和加工处理的信息载体。 数据元素：就是数据的基本单位，在某些情况下，数据元素也称为元素、结点、顶点、记录。数据元素有时可以由若干数据项组成。 数据类型：是一个值的集合以及在这些值上定义的一组操作的总称。通常数据类型可以看作是程序设计语言中已实现的数据结构。 数据结构：指的是数据之间的相互关系，即数据的组织形式。一般包括三个方面的内容:数据的逻辑结构、存储结构和数据的运算。 逻辑结构：指数据元素之间的逻辑关系。 存储结构：数据元素及其关系在计算
2、机存储器内的表示，称为数据的存储结构. 线性结构：数据逻辑结构中的一类。它的特征是若结构为非空集，则该结构有且只有一个开始结点和一个终端结点，并且所有结点都有且只有一个直接前趋和一个直接后继。线性表就是一个典型的线性结构。栈、队列、串等都是线性结构。 非线性结构：数据逻辑结构中的另一大类，它的逻辑特征是一个结点可能有多个直接前趋和直接后继。数组、广义表、树和图等数据结构都是非线性结构。 1.2 试举一个数据结构的例子、叙述其逻辑结构、存储结构、运算三个方面的内容。答：例如有一张学生体检情况登记表，记录了一个班的学生的身高、体重等各项体检信息。这张登记表中，每个学生的各项体检信息排在一行上。这个
3、表就是一个数据结构。每个记录(有姓名，学号，身高和体重等字段)就是一个结点，对于整个表来说，只有一个开始结点 (它的前面无记录)和一个终端结点(它的后面无记录)，其他的结点则各有一个也只有一个直接前趋和直接后继( 它的前面和后面均有且只有一个记录)。这几个关系就确定了这个表的逻辑结构是线性结构。这个表中的数据如何存储到计算机里，并且如何表示数据元素之间的关系呢? 即用一片连续的内存单元来存放这些记录(如用数组表示 )还是随机存放各结点数据再用指针进行链接呢 ? 这就是存储结构的问题。在这个表的某种存储结构基础上，可实现对这张表中的记录进行查询，修改，删除等操作。对这个表可以进行哪些操作以及如何
4、实现这些操作就是数据的运算问题了。1.3 常用的存储表示方法有哪几种?答：常用的存储表示方法有四种: 顺序存储方法 ：它是把逻辑上相邻的结点存储在物理位置相邻的存储单元里，结点间的逻辑关系由存储单元的邻接关系来体现。由此得到的存储表示称为顺序存储结构，通常借助程序语言的数组描述。 链接存储方法 ：它不要求逻辑上相邻的结点在物理位置上亦相邻，结点间的逻辑关系是由附加的指针字段表示。由此得到的存储表示称为链式存储结构,通常借助于程序语言的指针类型描述。 索引存储方法 ：除建立存储结点信息外，还建立附加的索引表来标识结点的地址。组成索引表的索引项由结点的关键字和地址组成。若每个结点在索引表中都有一个
5、索引项，则该索引表称之为稠密索引（Dense Index）。若一组结点在索引表中只对应一个索引项，则该索引表称为稀疏索引。 散列存储方法 ：就是根据结点的关键字直接计算出该结点的存储地址。1.4 设三个函数 f,g,h 分别为 f(n)=100n3+n2+1000 , g(n)=25n3+5000n2 , h(n)=n1.5+5000nlgn 请判断下列关系是否成立：(1) f(n)=O(g(n) (2) g(n)=O(f(n) (3) h(n)=O(n1.5)(4) h(n)=O(nlgn)分析：数学符号“O“的严格的数学定义：若 T（n）和 f（n ）是定义在正整数集合上的两个函数，则 T
6、（n） =O（f（n）表示存在正的常数 C 和n0，使得当 nn0 时都满足 0T（n）Cf（n）。通俗地说，就是当 n时，f(n)的函数值增长速度与 T（n)的增长速度同阶。一般，一个函数的增长速度与该函数的最高次阶同阶。即：O(f(n)=n 3O(g(n)=n 3O(h(n)=n 1.5所以答案为：答：（1）成立。 （2）成立。（3）成立。（4）不成立。1.5 设有两个算法在同一机器上运行，其执行时间分别为 100n2 和 2n,要使前者快于后者，n 至少要多大?分析：要使前者快于后者，即前者的时间消耗低于后者，即：100n 2j) j+;else i+;分析：通过分析以上程序段，可将 i
7、+j 看成一个控制循环次数的变量，且每执行一次循环，i+j 的值加 1。该程序段的主要时间消耗是 while 循环，而 while 循环共做了 n 次，所以该程序段的执行时间为：T(n)=O(n)(4)x=n; / n1 while (x=(y+1)*(y+1)y+;分析：由 x=n 且 x 的值在程序中不变，又 while 的循环条件(x=(y+1)*(y+1) 可知：当(y+1)*(y+1) 刚超过 n 的值时退出循环。由(y+1)*(y+1)0)if(x100)x=x-10;y-;else x+;分析：x=91; /1y=100; /1while(y0) /1101if(x100) /1
8、100 x=x-10; /100y-; /100else x+; /1000以上程序段右侧列出了执行次数。该程序段的执行时间为：T(n)=O(1)1.7 算法的时间复杂度仅与问题的规模相关吗?答：算法的时间复杂度不仅与问题的规模相关，还与输入实例中的初始状态有关。但在最坏的情况下，其时间复杂度就是只与求解问题的规模相关的。我们在讨论时间复杂度时，一般就是以最坏情况下的时间复杂度为准的。1.8 按增长率由小至大的顺序排列下列各函数：2 100, (3/2)n， (2/3)n， nn ,n0.5 , n! ，2 n ，lgn ,n lgn, n(3/2) 答：常见的时间复杂度按数量级递增排列,依次
9、为:常数阶 0(1)、对数阶 0(log2n)、线性阶 0(n)、线性对数阶0(nlog2n)、平方阶 0(n2)、立方阶 0(n3)、k 次方阶 0(nk)、指数阶 0(2n)。先将题中的函数分成如下几类：常数阶：2 100对数阶：lgnK 次方阶：n 0.5、n (3/2)指数阶 (按指数由小到大排)：n lgn、(3/2) n、2 n、 n!、 nn注意：(2/3) n 由于底数小于 1，所以是一个递减函数，其数量级应小于常数阶。 根据以上分析按增长率由小至大的顺序可排列如下：(2/3)n 2100 lgn n0.5 n(3/2) nlgn (3/2)n 2n n! nn 1.9 有时为
10、了比较两个同数量级算法的优劣，须突出主项的常数因子，而将低次项用大“O“记号表示。例如，设 T1(n)=1.39nlgn+100n+256=1.39nlgn+O(n), T2(n)=2.0nlgn-2n=2.0lgn+O(n), 这两个式子表示，当 n足够大时 T1(n)优于 T2(n)，因为前者的常数因子小于后者。请用此方法表示下列函数，并指出当 n 足够大时，哪一个较优，哪一个较劣?函数 大“O“表示 优劣 (1) T1(n)=5n2-3n+60lgn 5n 2+O(n) 较差 (2) T2(n)=3n2+1000n+3lgn 3n 2+O(n) 其次 (3) T3(n)=8n2+3lgn 8n 2+O(lgn) 最差 (4) T4(n)=1.5n2+6000nlgn 1.5n 2+O(nlgn) 最优
