1、1复合函数的求导法则全微分形式不变性第四节 多元复合函数的求导法则第八章 多元函数微分法及其应用高阶偏导数与高阶微分小结 思考题 作业2一、 复合函数的求导 法则 (链导法则 )( , ) , ( , ) , ( , )z f u v u x y v x y 回忆 : 对于一元函数 ( ) , ( ) ,y f u u x有d y d y d ud x d u d x而对于二元函数如何求zz,xy?多元复合函数的求导法则3多元复合函数的求导法则),(),(),( yxyxvyxu 都在点及如果 ,的偏导数和具有对 yx 在对且函数 ),( vufz ),( vu应点 则复合函数),(),( y
2、xyxfz 的两个在对应点 ), y偏导数存在 , 且可用下列公式计算具有连续偏导数 ,定理 :( * ) ,z z u z vx u x v x .z z u z vy u y v y 4注意 : 1. (*)式中两边 z的含义不同 ,左边的 z表示已经复合的函数 ,右边的 z表示还没有复合的函数 ,2. (*)式两边都在点 ( , )xy 取值 .多元复合函数的求导法则5项数问 :每一项中间变量函数对 中间变量 的偏导数该中间变量对其 指定自变量 的偏导数 (或导数 ).的个数 .函数对某自变量的偏导数之结构多元复合函数的求导法则分量原则6uvxzyxz uz xu vzxvyz uzyu
3、 vzyv网络图u v多元复合函数的求导法则 ( , ) , ( , ) z f x y x y网络图原则7例 1. 设 222l n , ,xyz u v u e v x y 而求 zz,xy多元复合函数的求导法则8二 . 介绍”网络图”1 . ( , ) , ( ) , ( )z f u v u t v t 多元复合函数的求导法则zuvttzdd tuuz dd.ddtvvz2 . ( , , ) , ( ) , ( ) , ( )z f u v w u u t v v t w w t zuvtwtzdd uz tudd vz tvdd wz twdd3 . ( , ) , ( , ) ,
4、 ( , )z f u v u x y v x y zuvxy,xvvzxuuzxz .z z u z vy u y v y 全导数全导数94 . , , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )z f u v w u x y v x y w x y xz xuuz xvvzxwwz多元复合函数的求导法则zuvxw yyz yuuz yvvzywwz5 . ( , , ) , ( , )z f u x y u x yzuyxz z u zx u x x z z u zy u y y 10例 2. 设 2 2 22, sinx y zu e z x y求,.uuxy例 3. 设,yz
5、f x y fx有连续偏导 ,求,zzxy多元复合函数的求导法则11即次齐次函数是设 ,),( kzyxf),(),( zyxfttztytxf k 则结论为某一常数 ,);,()( zyxfkzfzyfyxfxA );,()( zyxfzfzyfyxfxB k);,()( zyxkfzfzyfyxfxC ).,()( zyxfzfzyfyxfxD C多元复合函数的求导法则正确的是 ( ).例 412思考题解答 ),(),( zyxfttztytxfk令 ,txu ,tyv ,tzw 则 ),(),( zyxfttztytxf k ),(),( zyxftwvuf k两边对 t求导 ,得 tu
6、uf tvvf twwf ),(1 zyxfkt k ufx vfy wfz ),(1 zyxfkt k t t t t),( zyxftk k ),( wvukfufu vfv wfw ),( wvukfx yx y z zzx y);,()( zyxkfzfzyfyxfxC 多元复合函数的求导法则13三、全微分形式不变性),( vufz 设函数 具有连续偏导数 ,则有全微分 ;ddd vvzuuzz ,),(),( 时当 yxvyxu 则有全微分,ddd yyzxxzz xvvzxuuzyvvzyuuz yuxxuuz dd yyvxxvvz dduuz d .d vvz全微分形式不变性的
7、实质多元复合函数的求导法则14引入记号 :设 ,z f u v记12,zzffuv 多元复合函数的求导法则15例 6. 设 22( , , )xyu f x y e z求, , .uuux y z 通过全微分求所有一阶偏导数 ,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便 .多元复合函数的求导法则16xz ),( yxf yy),( yxf xy ),( yxf yx函数 ),( yxfz 的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义x 22xz ),( yxfxx 22yzyzy2zyxxzy 2zxyyzx四、高阶偏导数和高阶全微分高阶偏导数 .二阶及二阶以上的偏导数统称为多元复合函数的求导法则17引入记号
8、:设 ,z f u v记12,zzffuv 2 2 2 21 1 1 2 2 1 2 222, , ,z z z zf f f fu u v v u v 多元复合函数的求导法则18例 xyyxz 23求 的四个二阶偏导数 .解 xz ,3 22 yyx ,2 3 xyx 22xz ,62xy 22yz ,23x xy z2.16 2 yx yx z2;16 2 yxyz多元复合函数的求导法则19例).0,0(),(0),0,0(),(),( 223yxyxyxyxyxf当当设解 ,)0,0(),( 时当 yx),( yxf x),( yxf y有2223222)(2)(3yxxyxyxyx,)
9、( 23 2224222yxyxyxyx.)( 2 22223223yxyxyxx(0 , 0 ) (0 , 0 )x y y xff求 和多元复合函数的求导法则20,)0,0(),( 时当 yx 按 定义 得)0,0(xf xx 0lim 0)0,0(yf yy0lim0 x fxfx )0,0()0,0(lim 0 yfyfy)0,0()0,0(lim0)0,0(xf y fyf xxy )0,0()0,0(lim 02224222)(23),(yxyxyxyxyxfx ,0)0,0(yf x fxf yyx )0,0()0,0(lim 0 .122223223)(2),(yxyxyxxy
10、xfy 00).0,0(),(0),0,0(),(),( 223yxyxyxyxyxf当当设).0,0()0,0( xyxy ff 和求yx多元复合函数的求导法则21多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地 ,续就与 求导次序无关 .如果函数 的两个二阶混合偏),( yxf yx与 ),( yxf xy 在区域 D内定理连续， 那么在导数该区域内但就通常所遇到的函数 ,在前一题中两个混合二阶偏导数相等 ,此种情后一题中两者不相等 , 这说明混合偏导数与求偏导数的次序有关 .但在况不会发生 ,这是因为有下述的定理 :).,( yxf yx),( yxf xy如 yxf23 xyx f3.23xyf处
11、在点和 )0,0(yxxy ff后一题中 ),0,0()0,0( yxxy ff 这只能说明都不连续 .注( , )z f x y多元复合函数的求导法则22多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微分方程 .偏微分方程是描述自然现象、反映自然规律的一种重要手段 .例如方程22222xzayz(a是常数 )称为 波动方程 , 它可用来描述各类波的运动 .又如方程02222 y zx z称为 拉普拉斯 (laplace)方程 , 它在热传导、流体运动等问题中有着重要的作用 .多元复合函数的求导法则23例 . 设 2 2 2( , ) ,u f x y z x y z 求2222 2 2 .uuuux y
12、 z 多元复合函数的求导法则24有连续的其中设 gfxyxgyxyfu ,.,222yxuyxux求二阶导数 答案 : 0解 xu yx u2 xygxy yxf xyg xygxyyxfy 32122ux 22x x y yfgy y x x 多元复合函数的求导法则25高阶全微分设函数( , )z f x y 在开区域 D内每一点都有全微分，则当 固定时，,xy dz x y是 与 的函数，因此对 可求其关于自变量同一改变量的全微分，dz即若xyd z f d x f d y则函数 ( , )z f x y 的二阶全微分记为 22d d z d z d f 或同样可定义 ( , )z f x
13、 y 的 n阶全微分 1n n nd d z d z d f 或多元复合函数的求导法则26( , )z f x y函 数 的 二 阶 全 微 分 表 达 式 为 2 2 22x y xx xy yyd z d f d x f d y f d x f d xd y f d y 其中 2222 ,.d x d x d y d y例 . 求 sinz x y 的二阶全微分 .多元复合函数的求导法则27多元复合函数求导法则 (链导法则 )全微分形式不变性(理解其实质 )多元复合函数的求导法则五、小结求抽象复合函数的高阶偏导数时要特别注意一阶偏导数仍是复合函数 .高阶偏导数纯偏导混合偏导 (相等的条件
14、)高阶微分28已知 f(t)可微 ,证明 满足方程)( 22 yxfyz.11 2yzyzyxzx提示)( tfyz t, y为中间变量 , x, y为自变量 .,)( )(2 2 tf tfxyxz .)( )(2)(1 22tftfytfyz 引入中间变量 , 则 ,22 yxt 令多元复合函数的求导法则291. 设22( , ) ,yz f x yx其中f有连续的二阶偏导 ,求2,.zzx x y 2. 设2 2 2 2( , ) , ( ) , ,z f x y x y y x x f 均可导 ,求.dzdx3. 若22( ), ,u f r r x y 其中 ()fr 二次可微 .证明 : 2 2 22 2 21 .u u d u dux y dr r dr 多元复合函数的求导法则30堂上练习 :4. 设 ( , , ) , ,yz f u x y u x e 其中 f 有二阶连续偏导 ,求2zxy5. 设 ( 2 , s i n ) ,z f x y y x 其中 f 有二阶连续偏导 ,求2zxy6. 设 ( ( ) , ( ) ) ,z f x y y x 其中 f 有二阶连续偏导 , 可导 ,求 2zxy多元复合函数的求导法则
