1、2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,1,最优控制,中南大学 信息科学与工程学院韩华 2008.03,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,2,第二章 变分法及其 在最优控制中的应用,2.1 变分法简介 2.2 泛函的变分 2.3 欧拉方程 2.4 横截条件 2.5 泛函局部极值的充分条件 2.6 等式约束条件下的变分问题 2.7 利用变分法求解最优控制问题 小结,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,3,2.1 变分法简介,作为数学的一个分支，变分法(calculus of variations)的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果:
2、 约翰伯努利（Johann Bernoulli，16671748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,4,它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣. 罗比塔（1661-1704）、雅可比伯努利（1654-1705）、莱布尼茨（1646-1716
3、）和牛顿（16421727）都得到了解答。 约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化. 欧拉（Euler Lonhard，17071783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支变分学。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,5,有趣的是，在1690年约翰伯努利的哥哥雅可比伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂
4、的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary）。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,6,伽利略（Galileo, 15641643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。 惠更斯（Huygens, 16291695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。 到1691年，也就是雅可比伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（62岁）与约翰伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体
5、说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,7,解此方程并适当选取参数，得,即为悬链线。,悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比贝努利随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,8,现实生活中的许多现象可以表达为泛函求极值问题，称为变分问题。 变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。,什么叫泛函？,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,9
6、,2.1 泛函的变分,一、泛函的定义如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就称变量J为依赖于函数x(t)的泛函，记为：J=Jx(t)。,说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛函理解为“函数的函数”。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,10,例2.1.1 函数的定积分,都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。,2. 离散系统,1.连续时间系统：,是泛函吗？,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,11,例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa)和B
7、(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如图2-1所示。当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ， x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点间的弧长为：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,12,例2.1.3 函数的不定积分,泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况：,不是泛函。,例如,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,13,几点说明：1、泛函是映射，是从函数空间到数域的映射。2、泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为泛函的宗量。3、容许函数空间：满足泛函的规定条件的宗量的全体所构成的函数空间。4、求函数的极值时，微分或导数起
8、着重要的作用。求泛函的极值时，变分起着类似的作用。我们将求泛函的极值问题称为变分问题，其相应的方法称为变分法。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,14,从例2.1.2可以知道，连接A、B两点的曲线之弧长的泛函，其被积函数 是未知函数导数的函数。在一般情况下，被积函数是自变量t，未知函数x(t)及其导数 的函数。所以最简单的一类泛函可表示为：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,15,二、泛函宗量的变分,（2.1.1）,泛函Jx(t)的宗量x(t)的变分是指在同一函数类中的两个函数间的差：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,16,三
9、、泛函的连续性,函数相近零阶相近 当函数x(t)与x0(t)之差的绝对值，即:x(t)-x0(t), t1 t t2 (2.1.2)对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图2-3所示。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,17,一阶相近当函数 x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导数 和 之差的绝对值，即(2.1.3) 都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的，如图2-4所示。,注意：一阶相近的两个函数，必然是零阶相近，反之不成立。,2020/3/14,中南大学信息科学与
10、工程学院自动化系,18,都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是k 阶相近的。,k阶接近：,当,(2.1.4),2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,19,在不同的函数空间，函数间的距离也不同。 在函数空间Ca，b（在区间a，b上连续的函数的全体构成的函数空间）中，通常采用下式定义距离：(2.1.5）,函数间距离,在函数空间Cka，b（在区间a，b上连续且具有连续的k阶导数的函数的全体构成的函数空间）中，任意两个函数间的距离定义为：,（2.1.6）,显然，式（2.1.5）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，而式（2.1.6）定量地表示两个函数之间的k阶相近度。,2020/3
11、/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,20,如果对于任意给定的正数，可以找到这样一个0，当 dx(t)，x0(t) （2.1.7）时，存在Jx(t)Jx0(t) (2.1.8)那么，就说泛函J在点x0(t)处是连续的。根据所采用的函数之间距离定义的不同，是按式（2.1.5）还是式（2.1.6），其对应的泛函分别称为零阶连续泛函或k阶连续泛函。,泛函的连续性,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,21,四、泛函的常见形式,1、线性泛函连续泛函如果满足下列条件：（1） Jx1(t)+ x2(t)= Jx1(t)+ Jx2(t)（2） Jcx(t)=cJx(t),其中，c是任
12、意常数，就称为线性泛函。例如,都满足上述两个条件，故均为线性泛函。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,22,连续泛函如果满足下列条件： （1） Jx1(t)+ Jx2(t)=1/2Jx1(t)+x2(t)+ Jx1(t)-x2(t) （2） Jcx(t)=c2Jx(t) 就称为*二次型泛函*。例如,是关于x(t)的二次型泛函，其中F、Q均为对称矩阵。,2、二次型泛函,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,23,五、泛函的变分,变分法（calculus of variations）是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函
13、可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,24,泛函的变分的定义,如果连续泛函Jx(t)的增量可以表示为：,其中，Lx(t)，x(t)是关于x(t)的线性连续泛函，而rx(t)，x(t)是关于x(t)的高阶无穷小。 Lx(t)，x(t) 称为泛函的变分，记为,（2.1.9）,（2.1.10）,也就是说，泛函的变分是泛函增量的线性主部。当一个泛函具有变分时，即泛函的增量可以用式（2.1.9）来表示时，称该泛函是可微的。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,25,例
14、如，泛函 的增量为：,于是，其变分为：,可以证明，泛函的变分是唯一的。因为，若泛函的变分不是唯一的，则泛函的增量可以写为：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,26,引理2.1.1 泛函Jx(t)的变分为：,证明：如上所述，泛函Jx(t)的增量为：,其中，（0 1）是一个参变量。由于Lx(t)， x(t)是关于 x(t)的线性连续泛函，根据线性泛函的性质（2），有,（2.1.11）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,27,又由于rx(t)， x(t)是关于 x(t)的高阶无穷小，所以,利用上述两点结论，便得,根据偏微分的定义,2020/3/14,中南大
15、学信息科学与工程学院自动化系,28,因为泛函Jx(t)的变分为：,所以,QED,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,29,例2.1.5 求泛函 的变分,例2.1.4 求泛函 的变分。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,30,例2.1.4 求泛函 的变分。,根据式（2.1.11），该泛函的变分为：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,31,根据式（2.1.11），所求泛函的变分为：,例2.1.5 求泛函 的变分,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,32,若设,则,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化
16、系,33,六、泛函的极值,如果泛函Jx(t)在函数空间中点x=x0(t)的邻域内，其增量为：,就称泛函Jx(t)在点x0(t)处达到极小值；,如果泛函Jx(t)在函数空间中点x=x0(t)的邻域内，其增量为：,就称泛函Jx(t)在点x0(t)处达到极大值；,x0(t)的邻域包含满足条件： 的所有点x(t)的球（即以x0(t) 为圆心，以为半径的球）。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,34,注意：所采用的函数间的距离的定义的不同，点 x0(t)的邻域内所包含的函数也不同。,若,强极值,若,弱极值,显然，如果泛函Jx(t)在点x0(t)处达到强极值，那么它在点x0(t)处也
17、一定达到弱极值。反之不成立。,定理2.1.1（必要条件） 若泛函Jx(t)是连续可微的，并且在点x0(t)处达到极值，则泛函在点x0(t)处的变分等于零，即,（2.1.12）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,35,证明： 对于任意给定的x(t)，Jx0(t)+ x(t)既是函数x(t)的泛函，又是变量的函数。 泛函Jx0(t)+ x(t)在x0(t)处达到极值，也可看成是函数Jx0(t)+ x(t)在 =0处达到极值，所以函数Jx0(t)+ x(t)对变量的偏导数在 =0处应等于零，即,而由式（1.1.11）有,比较上面两式，又考虑x(t)是任意给定的，所以,QED,2
18、020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,36,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,37,求平面上过两点 和 的最短曲线。 解： 设曲线方程 ， 且 。 两点间弧长L 是 的泛函 ，设,本例就是要解得当泛函 为极值的极端函数 。,例2.1.6,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,38,例2.1.7,2.1.7,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,39,2.2 欧拉方程,最优控制问题中，根据性能指标的类型（积分型性能指标、终值型性能指标、复合型性能指标）的不同，分别对应了古典变分法中的三类基本问题。,拉格朗日（Lagrang
19、e）问题基本问题,麦耶耳(Mayer)问题,波尔扎（Bolza）问题,(2.2.1),(2.2.2),(2.2.3),2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,40,问题描述：假定点A(t0,x0)和B(tf , xf)是所要寻求的泛函（2.2.1）的极值曲线x(t)的两个固定端点，如图2-5所示，其坐标为：,（2.2.4）,现在的问题是：从满足边界条件（2.2.4）的二阶可微的函数中，选择使泛函（2.2.1）达到极小值的函数x(t)。,固定端点的Lagrange问题,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,41,解: 设x*(t)是使泛函（2.2.1）达到极小值
20、且满足边界条件（2.2.4）的极值曲线。现用,（2.2.5）,表示满足边界条件（2.2.4）的极值曲线x*(t)的邻域曲线。其中,x(t)是泛函宗量x(t)的变分，(01)是一参变量。为使x(t)是满足边界条件（2.2.4）的极值曲线x*(t)的邻域曲线， x(t)应具有连续导数且满足条件： (2.2.6) 于是，由式（2.2.5）得到,（2.2.7）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,42,由于x*(t)是极值曲线，所以泛函（2.2.1）在极值曲线x*(t)上的变分等于零（定理2.1.1），即,由引理2.1.1知，泛函的变分为,（2.2.8）,（2.2.9）,2020/
21、3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,43,(2.2.10),将 代入 ，得,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,44,（2.2.12）,利用条件 x(t0)= x(tf)=0 ，则上式变为,（2.2.13）,（2.2.11）,考虑到泛函宗量的变分x(t)是任意的函数，不妨选择,（2.2.14）,其中w(t)是任一满足下列条件的函数：,对式 右端第二项进行分部积分,将式（2.2.11）代入 ，并考虑式 得,变分预备定理,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,45,由上式可见，一个非负的函数的定积分为零，只能是被积函数恒等于零，因此有,（2.2.15
22、）,将上式左端第二项展开，可得,（2.2.16）,欧拉(Euler)方程,欧拉方程,(C为某一函数),将式 代入式 ，可得,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,46,式中,若 时，欧拉方程是一个二阶微分方程。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,47,定理2.2.1 若给定曲线x(t)的始端x(t0)= x0和终端x(tf)= xf，则泛函,达到极值的必要条件是，曲线x(t)满足欧拉方程,其中x(t)应有连续的二阶导数， 则至少应是二次连续可微的。,为什么？,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,48,几种特殊的欧拉方程（可以得到封闭形
23、式的解）,其中c是待定的积分常数。实际上，将上式左边对t 求全导数，有,L不显含t,欧拉方程,1.被积函数L不显含t，即,在这种情况下，欧拉方程的首次积分为,（2.2.17）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,49,3.被积函数L不显含 ，即,在这种情况下，欧拉方程的首次积分为,在这种情况下，欧拉方程的首次积分为,2.被积函数L不显含x，即,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,50,泛函变分的分量表示法,对于,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,51,在n维函数空间中，若极值曲线 的始端 和终端 是给定的，则泛函 的每一个分量xi引
24、起的J的变分：,同理：,泛函变分的向量表示法,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,52,欧拉(Euler)方程,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,53,对于向量空间的泛函，也存在着欧拉方程，不过是欧拉方程组（即向量欧拉方程）。(说明了什么？),定理2.2.2 在n维函数空间中，若极值曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T和终端X(tf)=x1(tf),x2(tf),xn(tf)T是给定的，则泛函,达到极值的必要条件是曲线X(t)满足向量欧拉方程,其中X(t)应有连续的二阶导数，而
25、则至少应是二次连续可微的。,（2.2.18）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,54,例2.2.1 求泛函 满足边 界条件 的极值函数。,解：由式（2.2.18）得：,其特征方程为：,特征根为：,从而得,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,55,由给定的边界条件,于是得极值函数：,得,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,56,例2.2.2 最速降线(又称捷线)问题所谓最速降线问题是:设在竖直平面内有两点A和B，它们不在同一条铅垂线上，现有一质点受重力的作用自较高的A点向较低的B点滑动，如果不考虑各种阻力的影响，问应取怎样的路径，才能
26、使所经历的时间最短？ 解：在A、B两点所在的竖直平面内选择 一坐标系，如图26所示。 A点为坐标原点 ，水平线为x轴，铅垂线为y轴。设质点的初速度为零，则由力学的知识可知，质点在重力的作用下，不考虑各种阻力的影响，从A点向B点下滑的速度的大小为,（2.2.19）,为什么？,目标泛函？,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,57,由图26得,（2.2.20）,将式（2.2.20)代入式（2.2.19）中，并变换，得,对上式两边进行积分，可得质点自点A(0，0)滑动到点B(xf，yf)所需的时间为,（2.2.21）,设y=y(x)是连接点A(0，0)和点B(xf，yf)的任一光滑
27、曲线,则最速降线问题的数学提法是:在XOY平面上确定一条满足边界条件,（2.2.22）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,58,的极值曲线y=y(x)，使泛函,（2.2.23）,达到极小值。这时被积函数为：,不显含自变量x，由(2.2.17)知，它的首次积分为,化简上式得,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,59,这种方程宜于利用参数法求解，为此，令,于是，,又由,对上式积分，得,由边界条件y(0)知，c2=0，于是,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,60,令,最后得,这是圆滚线的参数方程。式中r是滚动圆半径，其值由另一边界条件y
28、(xf)=yf确定。所以，最速降线是一条圆滚线。 说明：圆滚线（摆线/旋轮线）是指一圆沿定直线滚动时，圆周上一定点所描绘出的轨迹。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,61,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,62,2.3 横截条件,当极值曲线x*(t)的端点变化时，要使泛函 达到极小值， x*(t)首先应当满足欧拉方程：,若端点固定,可以利用端点条件:,确定欧拉方程中的两个待定的积分常数。,问题：若端点可变，如何确定这两个积分常数？,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,63,问题描述：假定极值曲线的始端A(t0，x0)是固定的，而终
29、端B(tf，xf)是可变的，并沿着给定的曲线（.）变动，,（2.3.1）,如图27所示。现在的问题是需要确定一条从给定的点A(t0，x0)到给定的曲线(2.3.1)上的某一点B(tf，xf)的连续可微的曲线x(t) ，使得泛函,达到极小值。,（2.3.2）,横截条件推导过程,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,64,（2.3.3） （2.3.4）,由图2-7可见，每一条邻域曲线x(t)都对应一个终端时刻tf ，设极值曲线x*(t)所对应的终端时刻为tf *，则邻域曲线x(t)所对应的终端时刻tf可以表示为：,（2.3.5）,将式（2.3.3）（2.3.5）代入式（2.3.2
30、），得,（2.3.6）,解：设x*(t)是泛函 的极值曲线。 x*(t)的邻域曲线可表示为：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,65,根据泛函达到极值的必要条件,则有：,（2.3.7）,式（2.3.7）左边第一项相当于tf固定时的泛函的变分，按照上一节推导的结果可得,（2.3.8）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,66,式（2.3.7）左边第二项先利用中值定理，然后求导，则得,（2.3.9）,将式（2.3.8）和式（2.3.9）代入式（2.3.7），得,考虑到欧拉方程和始端固定,所以有,（2.3.10）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学
31、院自动化系,67,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,68,（2.3.11）,但是，终端点沿曲线（2.3.1）变动，所以x(t*f)与dtf相关。为了进一步简化式（2.3.10），应当求出x(t*f)与dtf之间的关系。,若x(t*f)与dtf互不相关，则由上式得,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,69,将上式代入式（2.3.10），可得,x(t*f)与 dtf 之间的关系,根据终端约束条件 ，应有,将上式对取偏导数，并令=0，利用 ，整理得,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,70,的图解,2020/3/14,中南大学信息科学与工
32、程学院自动化系,71,由于dtf是任意的，所以,（2.3.12）,横截条件,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,72,定理2.3.1 若曲线x(t)由一给定的点(t0，x0)到给定的曲线x(tf)=(tf)上的某一点(tf，xf)，则泛函,达到极值的必要条件是， x(t)满足欧拉方程,和横截条件,其中x(t)应有连续的二阶导数， 则至少应是二次连续可微的，而(t) 则应有连续的一阶导数。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,73,若极值曲线的始端不是固定的，并沿着曲线,(2.3.13),变动，则同样可以推导出始端的横截条件,(2.3.14),2020/3
33、/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,74,(1) t0、 tf 自由x(t0) 与x(tf)受约，即x(t0)=(t0)， x(tf)=(tf)，则横截条件为：,(2) 当t0、 tf 自由，而x(t0) 与x(tf)固定时，则横截条件为：,根据定理2.3.1和式（2.3.14），可得到端点可变时，Lagrange问题的解，除有欧拉方程外，还有横截条件：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,75,(3)当t0、 tf 固定，即始端与终端分别在t=t0、t=tf上滑动，则横截条件为：,同理:,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,76,(4)始端、终
34、端时间和状态都自由时的横截条件为：,定理2.3.1和以上几种情况的横截条件，都可以将其推广到n维函数向量X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的泛函的情形。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,77,定理2.3.2 在n维函数空间中，若曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T是固定的，而终端X(tf)=x1(tf), x2(tf), xn(tf)T是可变的，且在曲面X(tf)=(tf)上变动，则泛函,达到极值的必要条件是，曲线X(t)满足向量欧拉方程,和横截条件,2020/3/14,中南大学信息科
35、学与工程学院自动化系,78,其中X(t)应有连续的二阶导数，而 则至少应是二次连续可微的，而(t)=1(t)， 2(t)， n(t)T则应有连续的一阶导数。,若曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端不是固定的，而是可变的，并在给定的曲面,上变动，其中 ，则同样可以推导出始端的横截条件为：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,79,采用分量的变分方式,在n维函数空间中，若曲线X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T的始端X(t0)=x1(t0),x2(t0),xn(t0)T是固定的，而终端X(tf)=x1(tf), x2(tf), xn(tf)T是可变
36、的，且在曲面X(tf)=(tf)上变动，求泛函 的极值. 可用代入消去法,这时,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,80,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,81,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,82,取极值的必要条件为：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,83,由于 的任意性，所以有以下的等式成立：,（横截条件）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,84,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,85,(1)始端、终端可变，即x(t0)=(t0)， x(tf)=(tf)，则
37、横截条件为：,(2) 当t0、 tf 可变，而x(t0) 与x(tf)固定时，则横截条件为：,(3)当t0、 tf 固定，而x(t0) 与x(tf)约束时，即始端与终端分别在t=t0、t=tf上滑动，则横截条件为：,同理:,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,86,(4)始端、终端自由的横截条件为：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,87,例2.3.1 求t-x平面上由给定A(0,1)至给定直线 x=2-t 的弧长最短的曲线方程。,解：由图28，弧长,根据题意，目标泛函应选为：,这是一个始端固定，终端可变的泛函的变分问题。由于泛函的被积函数 中不显含x
38、(t)，所以Euler方程为：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,88,由初始条件x(0)=1，得c2=1，从而有,由横截条件（2.3.12），得,经整理得 ，所以c1=1。最优轨线方程为：,最优轨线与给定直线垂直。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,89,*2.4 泛函局部极值的充分条件,泛函二阶变分推导过程：给定泛函为 其一阶变分为,（2.4.1）,（2.4.2）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,90,而二阶变分为,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,91,（2.4.3）,于是，为使泛函（2.4.1）在
39、曲线x(t)上达到极小（或极大）值，其一阶变分（2.4.2）应为零，而其二阶变分（2.4.3）必须为正（或负）。由此，得到下面的定理。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,92,定理2.4.1 若泛函,的一阶变分,则Jx(t)达到极小值的充分条件是二阶型矩阵,（2.4.4）,是正定的或半正定的；而Jx(t)达到极大值的充分条件是式（2.4.4）是负定的或半负定的。定理2.4.1可以推广到含有n个未知函数的泛函的情形。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,93,复习与讨论,1）请写出欧拉方程，并说明欧拉方程是在什么样的端点条件和性能泛函下导出？如何导出？它
40、用来解决什么问题？ 2）对于拉格朗日问题有几种端点条件？使性能泛函达到极值的定解条件分别是什么？可以由哪些方法推导而来？,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,94,2.5 等式约束条件下的变分问题,一、回顾等式约束条件下函数极值问题的解法,设有函数,（2.5.2）,现在需要求函数Z在约束条件为,（2.5.1）,情况下的极值。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,95,从方程（2.5.2）中将y解出来往往是很困难的； 对x和y这两个自变量未能平等看待。,从约束条件（2.5.2）中将y解出来。用x表示y，即 y=y(x) 然后将y(x)代入f(x,y)中，得
41、到Z=fx, y(x) （2.5.3） 这样，函数Z就只含有一个自变量x了，在等式（2.5.2）约束条件下的函数(2.5.1)的极值问题，就变成无约束条件的函数（2.5.3）的极值问题了。但是，消元法存在两个问题：,（1）消元法,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,96,（2）拉格朗日乘子法（Lagrange factor）步骤如下： 作一个辅助函数 F=f(x,y)+g(x,y)式中， 是待定的常数，称为拉格朗日乘子；求辅助函数F的无条件极值，即令,(2.5.4),联立求解方程（2.5.2）和（2.5.4），求出驻点（ x0 ，y 0）和待定常数值;判断（ x0 ，y 0
42、）是否是函数f(x,y)的极值点。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,97,拉格朗日乘子法对于求n元函数y=f（x1，x2，xn） 在多个约束方程gi（x1，x2，xn） =0，i=1，2， ，m； m n 条件下的极值问题，同样适用。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,98,二、等式约束条件下泛函极值问题的解法,求泛函,（2.5.5）,在约束方程为,（2.5.6）,和端点条件为,（2.5.7）,情况下的极值曲线。这里X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T， f=f1,f2,fmT，m n。 而 是x1(t),x2(t),xn(t)和t的标量
43、函数。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,99,利用拉格朗日乘子法求解上述等式约束条件下的泛函极值问题，其具体步骤为,构造辅助泛函其中(t)= 1(t), 2(t), m (t)T是m维待定向量乘子。 令 (2.5.9)写出向量形式的欧拉方程 (2.5.10),（2.5.8）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,100,定解条件：,检验候选函数X(t)是否使泛函达到极值以及是极大值还是极小值。,得到候选函数X(t),2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,101,如果将向量乘子 (t)也看做是辅助泛函的宗量，那么约束方程（2.5.6）也
44、可以看作是辅助泛函的欧拉方程：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,102,利用拉格朗日乘子法求得的函数X(t)，如果辅助泛函达到极值，就一定是原泛函（2.5.5）的极值函数。因为由约束方程（2.5.6）和欧拉方程（2.5.10）联立解出的向量函数X(t)和(t)一定满足约束方程（2.5.6），所以必有J0=J，另外，当将所解出的(t)代入辅助泛函（2.5.8）时，函数X(t)将使辅助泛函（2.5.8）达到无条件极值，因为函数X(t)是辅助泛函（2.5.8）的欧拉方程（2.5.10）的解。 上面的论述仅仅指出了利用拉格朗日乘子法求出的辅助泛函（2.5.8）的无条件的极值函数
45、，一定是原泛函（2.5.5）在等式（2.5.6）约束条件下的极值函数。但是，却没有说明原泛函（2.5.5）在等式（2.5.6）约束条件下的所有极值函数是否都能利用拉格朗日乘子法求出来？下面的定理将回答这个问题。,说明：,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,103,定理2.5.1 如果n维向量函数 X(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T （2.5.11）能使泛函,（2.5.15）,在等式约束,（2.5.12）,条件下达到极值，这里f是m维向量函数， m n，必存在适当的m维向量函数 (t)= 1(t), 2(t), m (t)T （2.5.14） 使泛函,（2.5.1
46、3）,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,104,达到无条件极值。即函数X(t)是泛函（2.5.15）的欧拉方程,（2.5.16）,共同确定。,2020/3/14,中南大学信息科学与工程学院自动化系,105,说明：定理2.5.1表明，泛函（2.5.12）在等式（2.5.13）约束条件下的极值函数X(t) ，同时也使泛函（2.5.15）达到无条件极值。这就进一步说明泛函（2.5.12）在等式（2.5.13）约束条件下的极值函数X(t) 都可通过拉格朗日乘子法求得。如果不仅将X(t) ，而且连函数(t)在内，都看成是泛函（2.5.15）的宗量，那么，约束方程（2.5.13）也可以看成是泛函（2.5.15）的欧拉方程。方程（2.5.13）和（2.5.16）共有n+m个方程，恰好可以解出n维和m维未知函数X(t) 和(t)。当约束方程中（2.5.13）中的函数f不包括有 X(t)的导数 时，则式（2.5.13）便成为一种代数方程约束。定理2.5.1仍然成立。,
