1、,主要内容,1.定义,2.性质 5条,3.展开定理,4.几个重要结果,范德蒙行列式,P.17例2,三角形行列式的值等于对角元之乘积,行列式的计算方法小结,可从计算方法和行列式特征两个角度总结。,1. 直接用定义（非零元素很少时可用）,2. 化三角形行列式法,此法特点：,(2) 灵活性差，死板。,程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的字母行列式适用。,3.降阶法,利用性质，将某行(列)的元尽可能化为0，然后按行(列)展开.,此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。,一.方法,*4. 递推公式法 (见附录1),*5、数学归纳法 (见附录2),*6. 加边法（升阶）(见附录3),二、特征,
2、1. 奇数阶反对称行列式 的值为零。,. 阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行列式或结合展开定理计算.,. 非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。,一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果）,为对称行列式,例,例,是反对称行列式,不是反对称行列式,两种重要行列式,加到P.17,例 （P.17）,证明奇数阶反对称行列式的值为零。,证,当n为奇数时有,例,2. “箭形”行列式 化成三角形行列式,如:练习册P.2 6(2)题,例,另外：见P.21例6, P.4118题,3. 除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行列式或箭形行列式,另,可化箭形行列式,例 P.43 25题是x,y,n阶,n
3、-1阶,n-1阶,某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可用降 阶法或定义或递推公式法或归纳法,5. 各行(列)总和相等的行列式 (赶鸭子法),例 计算行列式(P.20 a 换为y),*或 y 乘第1列加到后面各列：,*,例如 (P.39 12(6) 、(7)，P.40 15(3),P.44 27,如：P.41 18, P.42 19, 20(2)、(3),1列(行)“1”的巧妙利用,6 范德蒙(Vandermonde)行列式（重要结果）,例 计算行列式,解 V是 的范德蒙行列式，,故,注： 显然，范德蒙行列式,练习册P.6：,12张,将一不含的非零元化成零，某行可能会出现公因子，提公因子，可
4、降次。,7. 部分对角线上含参数的行列式,例 为何值时,D=0?,附录1. 递推公式法,特征：某行（列）至多有两个非零元素。,方法：按此行（列）展开，可能会导出递推公式。,例1(另见A26),按第一行展开好，还是按第一列展开好？,由此得递推公式：,因此有：,D2=?,解法2：从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。,例2,由此可得递推公式：,因此有,又因为,故,则,递推公式法的 步骤：,1. 降阶，得到递推公式；,2. 利用高中有关数列的知识，求出行列式 。,附录2、数学归纳法,例 证明范德蒙(Vandermonde)行列式,证明(数学归纳法),，结论成立。,按第1列展开,根据归纳
5、假设有：,综上所述，结论成立 。,附录3. 加边法（升阶）,要点：将行列式加一行一列，利用所加的一行（列）元素 ，将行列式化成三角形行列式。,例9 用加边法计算,n+1阶,还可用赶鸭子法！,将第1行的(-1)倍分别加到第2行，第3行，.，第n+1行得：,(1) 若m=0，则,n+1阶,“箭形”行列式,从加边前的Dn 得出,综合练习题,2. 用多种方法计算下列行列式,(2).,(3).,(1).,3. 计算行列式,设m阶行列式|A|=a, n阶行列式|B|=b,*4. 计算行列式,综合练习题解答,因此,因为: 对于任何两个数码 ,在一排列中要么构成逆序,要么不构成逆序.,如:,2. (1),解法一：,化成三角形行列式,解法二：把 化成0, 再按第三行展开,解法三：,(2).计算行列式,解法一：,解法二：,注意：若按图示法计算不易化简。,(3). 解法一,解法二:用赶鸭子法,提公因子,化三角形行列式或降成二阶,3. 计算行列式,设m阶行列式|A|=a, n阶行列式|B|=b,解,将第n+1列作n次相邻交换，到第1列，将第n+m列作n次相邻交换，到第m列,共作了mn次列交换，得：,*4. 计算行列式,解,利用一行“1”,另一解法见学习指导书。,
