1、 第一章 行列式 1.1 目的要求 1会求 n 元排列的逆序数； 2会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3深入领会行列式的定义； 4掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5灵活掌握行列式按（列）展开； 6理解代数余字式的定义及性质； 7会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解 1.2 重要公式和结论 1.2.1 n 阶行列式的定义 n 阶行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD.212222111211=nnnppptpppaaa .)1(212121).(= . 其中 是 n 个数 12n 的一个排列，t 是此排列的逆序数，表示对
2、所有 n 元排列求和，故共有 n！项 nppp .211.2.2 行列式的性质 1行列式和它的转置行列式相等； 2行列式的两行（列）互换，行列式改变符号； 3行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）； 4行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即 nnnniniinnnnnininiiiinaaaaaaaaaaaabababaaaaLMMMLMMMLLMMMLMMML21211121121221111211=+ +nnnniniinaaabbbaaa
3、LMMMLMMML2121112116 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变 1.2.3 行列式按行（列）展开 设 D 为 n 阶行列式，则有 =nKjkikaA1 =+jijiDAaAaAajninjiji0.2211=nKjkikaA1 =+jijiDAaAaAajninjiji0.2211其中 是 的代数余子式.stAsta1.2. 克拉默法则 如果线性非齐次方程组 =+=+=+nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLMMMMMLL22112222212111212111的系数行列式 ，则方程组有唯一解0DDD
4、x11= （ i=1， 2， ， n） ，其中 是 D 中第 i列元素（即 的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式 iDix2如果线性齐次方程组 =+=+=+000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLMMMMMLL的系数行列式 ，则方程组只有唯一零解若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 0D0=D1.2.5 一些常用的行列式 1上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积. 2设 kkkkaaaaDLMMML11111= ，nnnnbbbbDLMMML11112= ，则 211111111111110DDbbccbbccaaaann
5、nnknnkkkkk=LLMMMMMMLLLMMML. 3范德蒙行列式 )(.1.1111121121ijnjinnnnnaaaaaaaa= cba 01222 cba 0)( cba01222A ，若 73 =+ BA ，则 =+TABE21（ ）. 12设 ，则=653042001A =+12AE （ ）. 13解方程组 011112222212112=nnnnnnnbbbbbbbbbxxxLMMMMLLL，其中 为各不相同的常数. nbbbb ,321L14证明：)()()()()()()()()(212222111211xaxaxaxaxaxaxaxaxadxdnnnnnnLMMMLL
6、=ninnnniniinxaxaxaxadxdxadxdxadxdxaxaxa1212111211)()()()()()()()()(LMMMLMMML15设xxxxxxxg620321)(332=，求 )(xg . 16设17131231533111)(85222=xxxxxxxg，试证：存在 )1,0( ，使得 0)( = g . 17证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 18设 zyx , 是互异的实数，证明： 0111333=zyxzyx 的充要条件是 0=+ zyx . 19设4322321143113151 =A ，计算44434241AAAA + 的值，其中 是)4,3,2,1(
7、4=iAiA 的代数余子式. 20利用克莱默法则求解方程组 . =+=+=+3232222321321321xxxxxxxxx21求极限1101cossin3212sin1231lim230xxxxxxx. 第一章 参考答案 1.4 独立作业 1.4.1 基础训练 1 (C) 2 (B) 3 (C) 4 (A) 5 (B) 6解 =17092142512000200070922000425190927092625142515682000. 70 ， 8 解 0111312111=+cbcacbAAA ，故答案为 0 9 解 因为在此行列式的展开式中，含有 的只有主对角线上的元素的积，故答案为
8、10解 由范德蒙行列式得行列式的值为 288 3x 211解 0222222229753169411311971197597531694149362516362516925169416941= . 12 解 xyxyxxxyyyxyxyyxyxxyD0000000000000000= 22222)( yxxyyxxxyyxy = 13 解 0131201014200000130120010122000012000000130012000101=D 20311243131200014 = 14 解 yzxzxyxzyxzxyzxyyzxxyzzxyyzx=11)()(0)(01111= )()(
9、 xzzyyx 15解 520003520003520003500003352000352000352000352000325200035200035200035200035+= =520035200352003532520003520003520003500003320000320000320000320000325+=+ =L 665 16解 1413121414131213141312121413121144342414433323134232221241312111yyyyyyyxyyyyyyyxyyyyyyyxyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy
10、xyx+=+=0 17 解13211132211321000000000000)1(000000000+=nnnnnnnnaaaabaaaaaabbbbbDLMMMMMLLLLMMMMMMLLL=+1222112210000000nnnnnaaaaabbbbaLMMMMMLLL=+LL121 nnnnnDaabaaa )(121 =niiinabaaa L 18解 由第 ( )列的i ni ,2,1 L=ix1 倍加到第一列上去. nniinxxxxxxxDLMMMMLLLLMMMMLLL0000000001111001001001111021121= = )1(121 =niinxxxx L
11、 19解 4321111432100100100111111111111111111xxxxxxxxxxx +=+43211141312110000000001xxxxxxxxxxxxx += =3214214314324321xxxxxxxxxxxxxxxx + 20解 2020012000200021222232222222221=nn LMMMMLLLLMMMMLLL202012002=nLMMMMLL= )!2(2 n21解 211121111)1(211121111211121112LLLLLLLLLLLLLLLLLL+=+= nnnnDn1101011001)1( +=+= nnL
12、LLLLL22解 由齐次线性方程组有非零解的条件可知 0111213142=解之得 =0,2,3. 于是当 =0，2 ，3 时，齐次方程组 有非零解. =+=+=+0)1(02)3(0)1(42321321321xxxxxxxxx23证明 (1)当 时，结论显然成立, (2) 假设当1=n kn 时, 结论成立, (3) 当 时 1+= kn11cos210001cos200000cos210001cos210001cos2+=kkDLLMMMMMLLLkkDcos210000010000cos210001cos2100001)1(cos23LMMMMMLLLL+= sin)2sin(sins
13、insinsincos2sin)1sin(cos21+=+=kkkDkksin1)1sin( +=k故结论成立 1.4.2 提高练习 1B , 2 C , 3 D , 4 B , 5D, 6. 2)1( nn, 7 44332112aaaa80, 0, 9 32, 64 , 10 2312 n, 11277, 12 6 13提示：用范德蒙行列式将行列式展开求解，答案为ibx = ，（ ni ,2,1 L= ）， 14( 用行列式的定义和导数的运算法则) 证明 )()()()1()()()()()()()()()(11)(12122221112112211xaxaxadxdxaxaxaxaxax
14、axaxaxadxdnnpppppptnnnnnnLLMMMLLL= = )()()()()1(111)(12211xaxadxdxaxaninppppppptLLL =ninnnniniinxaxaxaxadxdxadxdxadxdxaxaxa1212111211)()()()()()()()()(LMMMLMMML15利用(14) 的结论进行计算便可得结果，答案为 6 2x16（用罗尔中值定理证） 证明 （1 ）显然 是多项式，故 在 上连续，在 ()(xg )(xg 1,0 )1,0内可导，且 ，从而由罗尔中值定理知，存在0)1()0( = gg )1,0( ，使得 0)( = g 17
15、用行列式的性质 3 的推论（同济四版） 18证明 333333333333001111xzxyxzxyxzxyxxzxyxzyxzyx= 0)()()(11)(2222=+=+= zyxyzxzxyxxzzxxyyxzxy 由于 zyx , 是互异的实数，故要使上式成立，当且仅当 0=+ zyx . 19 解 6111132114311315144434241=+ AAAA , 20 11=x ， ， 22=x 33=x21解 (用罗必塔法则求解) 11100013212001230000111231001100sincos3212sin1230230cos11231lim1101cossin3212sin1231lim2230230=+=+=xxxxxxxxxxxxxxxxx
