1、2016 年北京高考文科数学试卷和答案1 / 14绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文科数学第卷一.选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合 ， ，则42|xA3|xB或 BA(A) (B)5|x 54|x或(C) (D) 3 2或(2)复数 i21(A) (B) (C) (D)i1ii1(3)执行如图所示的程序框图，输出的 值为s(A)8(B)9(C)27(D)36(4)下列函数中，在区间 上为减函数的是)1,(A) xy1(B) cos(C) )ln(D) xy2(5)圆 的圆心到
2、直线 的距离为13xy已知 ， ，且 ，则R0y(A)1 (B)2 (C) (D)22(6)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为(A) (B) (C) (D)155859(7)已知 ， .若点 在线段 上，则 的最大值为),2(A)1,4(B),(yxPAByx(A) (B)3 (C)7 (D)8(8)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段 .下表为10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.
3、72 1.68 1.6030 秒跳绳（单位： 63 a 75 60 63 72 70 a1 b 652016 年北京高考文科数学试卷和答案2 / 14次）在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则(A)2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (B)5 号学生进入 30 秒跳绳决赛(C) 8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 (D) 9 号学生进入 30 秒跳绳决赛第卷二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。(9)已知向量 ， ，则 与 夹角的大小为)3,1(a)1,(bab_.(10)函数 的最大值为_2)xf(11
4、)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.(12)已知双曲线 的一条渐近线为 ，一个焦 点为 ，)0,(12bayx 02yx)0,5(则 _； _.ab(13)在 中， ， ，则 _.ABC32cab(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有4 种.则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有_种；这三天售出的商品最少有_种.三解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题满分 13 分)已知 是等差数列， 是等比
5、数列，且 ， ， ， .nanb32b91ba4(I)求 的通项公式；(II)设 ，求数列 的前 项和.nncnc2016 年北京高考文科数学试卷和答案3 / 14(16) (本小题满分 13 分)已知函数 的最小正周期为 .)0(2cossin2( xxf (I)求 的值；(II)求 的单调递增区间 . )(xf(17)(本小题满分 13 分)某市民用水拟实行阶梯水价.每人用水量中不超过 立方米的部分按 4 元/立方米收w费，超出 立方米的部分按 10 元/立方米收费.从该市随机调查了 10000 位居民，获得了w他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(I)如果 为整数，那么根据
6、此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/w立方米， 至少定为多少？(II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当 时，估计该市居民该3w月的人均水费.(18)(本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 中， 平面 ，ABCDPPABCD， .DCAB/(I)求证： 平面 ；(II)求证：平面 平面 ；(III)设点 为 的中点，在棱 上是否存在点 ，EABPBF使得 平面 ?说明理由 ./PCF(19)(本小题满分 14 分)已知椭圆 ： 过点 ， 两点.12byax)0,(A)1,(B(I)求椭圆 的方程及离心率；C2016 年北京高考文科数学试卷和答案4 / 14(
7、II)设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与PCPAyMPB轴交于点 .求证：四边形 的面积为定值 .xNABNM(20)(本小题满分 13 分)设函数 .cbxaxf23(I)求曲线 在点 处的切线方程；)fy)0(,f(II)设 .若函数 有三个不同零点，求 的取值范围；4bxc(III)求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件.32a)(f2016 年北京高考文科数学试卷和答案5 / 14（1） 【答案】C考点： 集合交集（2） 【答案】A【解析】试题分析： 12()245iiii，故选 A.考点： 复数运算（3） 【答案】B考点： 程序框图（4） 【答案】
8、D【解析】试题分析：由 12()xxy在 R上单调递减可知 D 符合题意，故选 D.考点：函数单调性（5） 【答案】C【解析】试题分析：圆心坐标为 (1,0)，由点到直线的距离公式可知 |103|2d，故选 C.考点：直线与圆的位置关系（6） 【答案】B【解析】试题分析：所求概率为1425CP，故选 B.考点： 古典概型（7） 【答案】C2016 年北京高考文科数学试卷和答案6 / 14考点： 函数最值（8） 【答案】B【解析】试题分析：将确定成绩的 30 秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是 3，6，7，10， （1，5 并列） ，4，其中，3，6，7 号进了立定跳远的决赛，10 号没进立
9、定跳远的决赛，故 9 号需进 30 秒跳绳比赛的前 8 名，此时确定的 30 秒跳绳比赛决赛的名单为 3，6，7，10，9，还需 3 个编号为 1-8 的同学进决赛，而（1，5）与 4 的成绩仅相隔 1，故只能 1，5，4 进 30 秒跳绳的决赛，故选 B.考点：统计（9） 【答案】 30.考点： 向量数量积与夹角公式,数形结合（10） 【答案】2【解析】试题分析： 1()2fx，即最大值为 2.考点：函数最值,数形结合（11） 【答案】 3.2【解析】试题分析：四棱柱高为 1，底面为等腰梯形，面积为 13(2)，因此体积为 3.2考点：三视图(12)【答案】 ,2ab2016 年北京高考文科
10、数学试卷和答案7 / 14考点：双曲线的基本概念(13)【答案】1【解析】试题分析：由正弦定理知 sin3AaCc，所以2sin13iC，则 6C，所以236B，所以 b，即 1考点：解三角形(14)【答案】16；29 【解析】试题分析：由于前二天都售出的商品有 3 种，因此第一天售出的有 19-3=16 种商品第二天未售出；答案为1 6同第三售出的商品中有 14 种第二天未售出，有 1 种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中 14 种第二天未售出的 商品都是第一天售出过的，此时商品总数为 29分别用 ,ABC表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形故答案为 29 C BA
11、 13 9142考点： 统计分析三、解答题（共 6 题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15） 【答案】 （） 21na（ ， 2， 3， ） ；（） 231n2016 年北京高考文科数学试卷和答案8 / 14（II）由（I）知， 21na， 13nb因此 1nnncb从而数列 的前 项和11323nnSn231n考点：等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式，考查运算能力.（16） 【答案】 （） （） 3,8k（ k） 2016 年北京高考文科数学试卷和答案9 / 14函数 sinyx的单调递增区间为 2,2k（ k） 由 24k，得 388xk所以 f的单调递增
12、区间为 3,8k（ k） 考点：两角和的正 弦公式、周期公式、三角函数的单调性.（17）【答案】 （）3；（）10.5 元.2016 年北京高考文科数学试卷和答案10 / 14所以该月用水量不超过 3立方米的居民占 85%，用水量不超过 2立方米的居民占 45%依题意， w至少定为 （II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号 1 2 3 4 5 6 7 8分组 ,4,6,8,10,21,2,7频率 050.005.根据题意，该市居民该月的 人均水费估计为：4.16.58.21.2.1570.2.57.（元） 考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图
13、求平均数的估计值.（18）【答案】 （）见解析；（）见解析；（III）存在.理由见解析.【解析】试题分析：（）利用线面垂直判定定理证明；（）利用面面垂直判定定理证明；（III）取 中点 F，连结 ，则 F/A，根据线面平行定理则 /A平面 CF.试题解析：（I）因为 C平面 D，所以 D又因为 ，来源:学,科,网所以 平面 2016 年北京高考文科数学试卷和答案11 / 14考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力（19） 【答案】 （）214xy； 32e（）见解析.（II）设 0,xy（ 0， 0y） ，则 204xy又 2A， 1，所以，直线 的方程为 02yx2016 年北
14、京高考文科数学试卷和答案12 / 14令 0x，得 02yx，从而 021yx直线 的方程为 01令 0y，得 0xy，从而 021xyA所以四边形 A的面积12S002xyy2000448xy来源:学_科_网 Z_X_X_K0022yx从而四边形 A的面积为定值考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.（20） 【答案】 （） ybxc;（） 320,7;（III）见解析.2016 年北京高考文科数学试卷和答案13 / 14fx与 f在区间 ,上的情况如下：222,3232,3fx 00AcA27cA所以，当 0c且 327时，存在 14,2x， 2,3x，32,x，使得 1230fxff由 f的单调性知，当且仅当 ,7c时，函数 324fxxc有三个不同零点来源:学.科.网2016 年北京高考文科数学试卷和答案14 / 14考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点
