1、1第 3 课时 利用两边及其夹角证相似一、选择题1如图 K231，要使 ACD ABC，则它们必须具备的条件是( )图 K231A. B. ACCD ABBC CDAD BCACC. D. CDAD BDCD ACAD ABAC22017枣庄如图 K232，在 ABC 中， A78， AB4， AC6.将 ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )图 K232 图 K2333如图 K234，四边形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，且将这个四边形分成四个三角形若 OA OC OB OD，则下列结论中一定正确的是( )2图 K234A相似 B相似C相似
2、D相似4如图 K235，在等边三角形 ABC 中， D 为 AC 的中点， ，则和 AED 相似的AEEB 13三角形有( )图 K235A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5下列各组条件中，一定能推得 ABC 与 DEF 相似的是( )A A E 且 D FB A B 且 D FC A E 且 ABAC EFEDD A E 且 ABBC DFED二、填空题62017潍坊如图 K236，在 ABC 中， AB AC.D， E 分别为边 AB， AC 上的点 AC3 AD， AB3 AE， F 为 BC 边上一点，添加一个条件：_，可以使得 FDB 与 ADE 相似(只需写出一个)3图 K23
3、67.如图 K237，在 ABC 中，分别以 AB， AC 为斜边作 Rt ABD 和 RtACE， ADB AEC90， ABD ACE30，连接 DE.若 DE5，则 BC 的长为_图 K23782017随州在 ABC 中， AB6， AC5，点 D 在边 AB 上，且 AD2，点 E 在边 AC上，当 AE_时，以 A， D， E 为顶点的三角形与 ABC 相似三、解答题9如图 K238，已知 AC 和 BD 交于点 E， CEAE BEDE.求证： ABE DCE.图 K238410已知：如图 K239， D， E 是 ABC 的边 AB， AC 上的点，AB9， AD4， AC7.2
4、， AE5.求证： B AED.图 K23911已知：如图 K2310，在四边形 ABCD 中， BAD CDA， AB DC ， CE a， AC b.求证：ab(1) DEC ADC；(2)AEAB BCDE.图 K231012如图 K2311，四边形 ABCD 是菱形，点 E 在 AB 的延长线上，连接 AC， DE， DE与 BC， AC 分别交于点 F， G，且 CDAE ACAG.求证：(1) ABC AGE；(2)AB2 GDDE.5图 K231113如图 K2312 所示，在 ABC 中， C90， BC8 cm，4 AC3 BC，点 P 从点B 出发，沿 BC 方向以 2 c
5、m/s 的速度向点 C 移动，点 Q 从点 C 出发，沿 CA 方向以 1 cm/s的速度向点 A 移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动若 P， Q 分别从 B， C同时出发，经过多长时间， CPQ 与 CBA 相似？图 K231214如图 K2313，点 C， D 都在线段 AB 上， PCD 是等边三角形(1)当 AC， CD， DB 满足怎样的关系时， PAC BPD?(2)当 PAC BPD 时，求 APB 的度数6图 K231315 方程思想如图 K2314，已知 AB BD， CD BD.(1)若 AB9， CD4， BD10，则在 BD 上是否存在点 P，使以 P， A
6、， B 三点为顶点的三角形与以 P， C， D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求 BP 的长；若不存在，请说明理由(2)若 AB9， CD4， BD12，则在 BD 上存在多少个点 P，使以 P， A， B 三点为顶点的三角形与以 P， C， D 三点为顶点的三角形相似？并求 BP 的长图 K231471答案 D2解析 C A 项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意； B 项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似，故本选项不符合题意； C 项，不能证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D 项，两个三角形对应边成比例且夹角相等，故
7、两个三角形相似，故本选项不符合题意3解析 C OAOCOBOD，AOBCOD，AOBCOD， C 正确，故选 C.4解析 C ABC 是等边三角形，ABACBC.又D 是 AC 的中点，BDAC，ABD30，ADAC12. ，AEAB14，AEAD12ADAB.又AA，AEEB 13AEDADB，AEDADB90.AC60，CDBCAEAD12，AEDCDB.AEDDEB90，ADEDBE30，AEDDEB，故选 C.5解析 C A 项，D 和F 不是两个三角形的对应角，故本选项错误；B 项，A 和B，D 和F 不是两个三角形的对应角，故本选项错误；C 项，由AE， 可以根据两边成比例且夹角相
8、等的两个三角形相似判断出ABAC EFEDABC 与DEF 相似，故本选项正确；D 项，由AE 且 不能判定ABC 与DEF 相似，因为相等的两个角不是夹角，ABBC DFED故本选项错误6答案 答案不唯一，如 DFAC 或BFDA 等解析 AA， ，ADEACB，当 DFAC 时，BDFADAC AEAB 13BAC，BDFEAD.当BFDA 时，BAED，FBDAED.7答案 10 解析 由题意可得 ADABAEAC12，BACDAE60DAC，ABCADE，BCDEABAD21，BC10.88答案 或125 53解析 如图，当 时，AA，AEDABC，此时 AE AEAD ABAC AB
9、ADAC ；如图，当 时，AA，ADEABC，此时 AE 625 125 ADAE ABAC ACADAB .故答案为 或 .526 53 125 539证明：因为 CEAEBEDE，所以 .AEDE BECE又AEBDEC，所以ABEDCE.10证明：AB9，AD4，AC7.2，AE5， 1.8， 1.8，ABAE 95 ACAD 7.24 .ABAE ACAD又AA，ABCAED，BAED.11证明：(1)DC ，CEa，ACb，DC 2CEAC，即 .又abCEDC DCACECDDCA，DECADC.(2)DECADC，DAECDE.又BADCDA，BACEDA.DECADC， .DC
10、AB， ，即 ，ADECAB， ，DEAD DCAC DEAD ABAC DEAB ADAC AECB DEAB即 AEABBCDE.12证明：(1)CDAEACAG， .四边形 ABCD 是菱形，ABCD，CDAG ACAE .ABAG ACAE又BACGAE，9ABCAGE.(2)ABCAGE，ACBE.四边形 ABCD 是菱形，ABAD，BCAD，ACBCADE.又ADGADE，ADGEDA， ADDE，AD 2GDDE，AB 2GDDE.GDAD13解：BC8 cm，4AC3BC，AC6 cm.设经过 t s，CPQ 与CBA 相似，此时 BP2t cm，CQt cm，则 CP(82t
11、) cm(0t4)(1)当 PQAB 时，CPQCBA，则 ，即 ，解得 t2.4.CPCB CQCA 8 2t8 t6(2)当 时，CPQCAB，CPCA CQCB则 ，解得 t .8 2t6 t8 3211故经过 2.4 s 或 s，CPQ 与CBA 相似321114解：(1)PCD 是等边三角形，PCCDPD，PCDPDC60，PCABDP120，只要满足 ，PACBPD 即成立，ACPD PCDB当 AC，CD，DB 满足 (或 CD2ACDB)时，PACBPD.ACCD CDDB(2)PACBPD，BPDA.又PDCBPDB60，10AB60，APB180AB120.15 解：(1)存在设 BPx，则 PD10x.BD，当 ABPDPBCD 时，ABPPDC，即 9(10x)x4，整理得 x210x360，此方程没有实数根；当 ABCDPBPD 时，ABPCDP，即 94x(10x)，解得 x ，9013即 BP 的长为 .9013(2)存在两个点 P.设 BPx，则 PD12x.BD，当 ABPDPBCD 时，ABPPDC，即 9(12x)x4，整理得 x212x360，解得 x1x 26；当 ABCDPBPD 时，ABPCDP，即 94x(12x)，解得 x ，10813故 BP 的长为 6 或 .10813
