1、125 一元二次方程的应用第 1 课时 一元二次方程的应用(1)教学目标【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解应用题【过程与方法】让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值【情感态度】在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力【教学重点】建立一元二次方程模型解决一些代数问题【教学难点】把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题教学过程一、情景导入，初步认知列方程解应用问题的步骤是什么？审题，设未知数，列方程，解方程，答【教学说明】七年级学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决但有
2、的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用二、思考探究，获取新知1某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为 40%，计划后年的使用率达到 90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率(假设该省每年产生的秸秆总量不变)分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：今年的使用率(1年平均增长率)2后年的使用率解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为 x，则根据等量关系，可列出方程：40%(1x) 290%解得：x 150%，x 22.5根据题意可知：x50%
3、答：这两年秸秆使用率的平均年增长率为 50%.2为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元求平均每次降价的百分率分析：问题中涉及的等量关系是：原价(1平均每次降价的百分率) 2现在的售价解：设平均每次降价的百分率为 x，则根据等量关系，可列出方程：100(1x) 281解得：x 110%，x 21.9根据题意可知：x10%2答：平均每次降价的百分率为 10%.3 “议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根的检
4、验实际问题的解【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法三、运用新知，深化理解1见教材 P50 例 2.2一件商品的原价是 121 元，经过两次降价后的价格为 100 元如果每次降价的百分率都是 x，根据题意列方程得_【答案】121(1x) 21003某小区 2013 年屋顶绿化面积为 2000 平方米，计划 2015 年屋顶绿化面积要达到2880 平方米如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么 这个增长率是多少？分析：本题需先设出这个增长率是 x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出 x的值，即可得出答案解：设这个增长率是 x，根据题意得：2000(1x) 228
5、80解得：x 120%，x 2220%(舍去)故答案为：20%.4某电脑公司 2012 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600 万元，占全年经营总收入的 40%，该公司预计 2014 年经营总收入要达到 2160 万元，且计划从 2012 年到2014 年，每年经营总收入的年增长率相同，问 2013 年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为 a.列方程，60040%(1a) 22160解方程，a 10.2，a 22.2，(不符合题意，舍去)每年经营总收入的年增长率为 0.2，则 2013 年预计经营总收入为：60040%(10.2)60040%1.21800答：2
6、013 年预计经营总收入为 1800 万元5将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时，能卖出 500 个，已 知这种商品每个涨价1 元，其销售量就减少 10 个，若这种商品涨价 x 元，则可赚得 y 元的利润(1)写出 x 与 y 之间的关系式；(2)为了赚得 8000 元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？解(1)商品的单价为 50x 元，每个的利润是(50x)40 元，销售量是 50010x 个，则依题意得 y(50x)40(50010x)，即 y10x 2400x5000.(2)依题意，得10x 2400x50008000.整理，得 x240x3000.解得 x110，x 2
7、30.所以商品的单价应定为 501060(元)或 503080(元)当商品的单价为 60 元时，其进货量只能是 5001010400(个)；当商品每个单价为80 元时，其进货量只能是 5001030200(个)6 “国运兴衰，系于教育”下图中给出了我国从 19982002 年每年教育经费投入的情况(1)由图可见，19982002 年的五年内，我国教育经费投入呈现出_趋势；(2)如果我国的教育经费从 2002 年的 5500 亿元增加到 2004 年的 7920 亿元，那么这两3年的教育经费平均年增长率为多少？解：(1)上升或增长(2)设平均每年增长率为 x.依题意，5500(1x) 27920
8、解得 x10.220%，x 22.2(不合题意，舍去)答：这两年的教育经费平均年增长率为 20%.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的 用途四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结教师作以补充课 后作业布置作业：教材“习题 2.5”中第 1、2 题教学反思一元二次方程的应用增长率及利润问题与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容本节课中，同学们能积极投入到课
9、堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果第 2 课时 一元二次方程的应用(2)教学目标【知识与技能】会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释【过程与方法】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学的意识【情感态度】让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识【教学重点】应用一元二次方程解决实际问题【教学难点】4从实际问题中建立一元二次方程的模型教学过程一、情景导入，初步认知复习列方程解应用题的一般步骤：(1)审题：
10、仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)设未知数：用字母(如 x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为 x；(3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解方程：求出所给方程的解；(5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；(6)作答：根据题意，选择合理的答案2说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习作准备二、思考探究，获取新知1思考：如图，在一长为 40cm，宽为 28cm 的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒
11、子，若已知长方体盒子的底面积为 364 平方厘米，求截去的四个小正方形的边长(1)引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)确定本题的等量关系是：盒子的底面积盒子的底面长盒子的底面宽；(3)引导学生根据题意设未知数；(4)引导学生根据等量关系列方程；(5)引导学生求出所列方程的解；(6)检验所求方程的解的合理性；(7)根据题意作答【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位，是多项式时要加括号再写单位2如图，一长为 32m，宽为 20m 的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为 540m2，求道路的宽分析：本题考查了一元二次方程的应用，
12、这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍本题可设道路宽为 x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了(32x)(20x)平方米 2，进而即可列出方程，求出答案解：设道路宽为 x 米(32x)(20x)5405解得：x 12，x 250(不合题意，舍去)x2答：道路宽为 2 米3如图所示，在ABC 中，C90，AC6 cm.BC8 cm，点 P 沿 AC 边从点 A 向终点C 以 1cm/s 的速度移动，同时点 Q 沿 CB 边从 C 向终点 B 以 2
13、cm/s 的速度移动，且当其中一点达到终点时，另一点也随之停止移动，问点 P、Q 出发几秒后，可使PCQ 的面积为 9cm2?解：设 xs 后，可使PCQ 的面积为 9cm2.由题意得，APx cm，PC(6x) cm，CQ2x cm 则 (6x)2x9.12整理，得 x26x90，解得 x1x 23.所以 P、Q 同时出发，3 s 后可使PCQ 的面积为 9cm2.【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法三、运用新知，深化理解1如图，某中学为方便师生活动，准备在长 30m，宽 20m 的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为 32，若使余下的
14、草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横路宽为 3xcm，则可列方程为_分析：若设小路的横路宽为 3xm，则纵路宽为 2xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下(目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路)，则余下的草坪面积可用含 x 的代数式表示为(304x)(206x)m2，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程则可列方程：(304x)(206x) 302034【答案】(304x)(206x) 3020342在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图
15、的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是( )6Ax 2130x14000Bx 265x3500Cx 2130x14000Dx 265x3500【答案】 B73如图，利用一面墙(墙的长度不超过 45m)，用 80m 长的篱笆围一个矩形场地(1)怎样围才能使矩形场地的面积为 750m2?(2)能否使所围矩形场地的面积为 810m2，为什么？解：(1)设所围矩形 ABCD 的长 AB 为 x 米，则宽 AD 为 (80x)米12依题意，得 x (80x)750.12即，x 280x15000，解此方程，得 x130，x 250.墙的长度不超过 45m，x 250
16、不合题意，应舍去当 x30 时， (80x) (8030)25，12 12所以，当所围矩形的长为 30m、宽为 25m 时，能使矩形的面积为 750m2.(2)不能因为由 x (80x)810 得12x280x16200.又b 24ac(80) 2411620800，上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为 810m2.4如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边如图，地毯中央的矩形图案长 6 米、宽 3 米，整个地毯的面积是 40 平方米求花边的宽分析：本题可根据地毯 的面积为 40 平方米来列方程，其等量关系式可表示为：(矩形图案的长两个花边的宽)(矩形图案的宽两个花边的宽)地毯
17、的面积解：设花边的宽为 x 米，根据题意得(2x6)(2x3)40，解得 x11，x 2 ，112x2 不合题意，舍去112答：花边的宽为 1 米5我校原有一块正方形空地，后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图)，原空地一边减少了 1m，另一边减少了 2m，使剩余的空地面积为 12m2，求原正方形的边长8分析：本题可设原正方形的边长为 xm， 则剩余的空地长为(x1) m，宽为(x2) m.根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长解：设原正方形的边长为 xm，依题意有(x1)(x2)12整理，得 x23x100.(x5)(x2)0，x 15，x 22(不合题意，舍去)答：原
18、正方形的边长 5m.6小明家有一块长 8m，宽 6m 的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园(图中阴影部分)，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，求图中的 x 值解：据题意，得(8x)(6x) 86.12解得 x112，x 22.x 1不合题意， 舍去x2.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结教师作以补充课后作业布置作业：教材“习题 2.5”中第 3、4、7 题教学反思本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关
19、系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用9复习与提升10教学目标【知识与技能】1一元二次方程的相关概念2灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程3能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况4能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题5构造一元二次方程解决简单的实际问题【过程与方法】通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟
20、练根据方程特征找出最优解法【情感态度】通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用【教学重点】运用知识、技能解决问题【教学难点】解题分析能力的提高教学过程一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及之间的关系二、释疑解惑，加深理解1一元二次方程的概念：如果一个方程通过移项可以使右边为 0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax 2bxc0，(a，b，c 是已知数且 a0)，其中 a，b，c 分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项2直接开平方法：对于形如(xn) 2d(d0)的方程，可用直接开平方法解直接开平方法的步骤是：把方程变形成(xn) 2d(d0)，然后直接开平方得 xn和 x n ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解d d3配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把方程化为一般形式 ax2bxc0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)若方程的二次项系数不为 1 时，方程两边同时除以二次项系数 a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
