1、导数专题复习（配详细答案）题型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令 得到两个根；0)(xf第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2
2、、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元） ；例 1：设函数 在区间 D 上的导数为 ， 在区间 D 上的导数为 ，若在区间 D()yfx()fxf ()gx上， 恒成立，则称函数 在区间 D 上为 “凸函数 ”，已知实数 m 是常数，()0gx()yfx43216mxf（1）若 在区间 上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；()yf0,3（2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数” ，求 的最2()fx,abba大值.解:由函数 得 432()
3、16xmxf32()fx2gx（1） 在区间 上为“凸函数” ，()yfx0,3则 在区间0,3上恒成立 2gm解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 max()0g(0)3290g解法二：分离变量法： 当 时, 恒成立,0x2()30gxm当 时, 恒成立3等价于 的最大值（ ）恒成立，2xx03x而 （ ）是增函数，则3()h0max()2h2m(2)当 时 在区间 上都为“凸函数” ()fx,ab则等价于当 时 恒成立 230gx变更主元法再等价于 在 恒成立（视为关于 m 的一次函数最值问题）2()Fmxm2(2)0301Fxxba-2 2例 2：设函数 ),10(3231)(2Rb
4、axaxf （）求函数 f（x ）的单调区间和极值；（）若对任意的 不等式 恒成立，求 a 的取值范围. ,()f（二次函数区间最值的例子）解：（） 22()43fxaxxa01a令 得 的单调递增区间为（a,3a）,0)(xf)(xf令 得 的单调递减区间为（ ，a）和（3a，+ ）当 x=a 时， 极小值 = 当 x=3a 时， 极大值 =b. )(xf;43b)(xf（）由| |a，得：对任意的 恒成立 ,2,1x2243a则等价于 这个二次函数 的对称轴 ()gxmain()g22()gxa2xa（放缩法）01,a2即定义域在对称轴的右边， 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题
5、。()gx上是增函数. （9 分）22431,axa、 min()()4.g于是，对任意 ，不等式恒成立，等价于2,1ax(2)4,41.15gaa、又 ,0a.154点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系3aa()fxa3ax,2第三种：构造函数求最值题型特征： 恒成立 恒成立；从而转化为第一、二种题型)(xgf0)()(xgfxh例 3；已知函数 图象上一点 处的切线斜率为 ，32()fa(1,)Pb326()10tgxxtt（）求 的值；,ab（）当 时，求 的值域；4x()fx（）当 时，不等式 恒成立，求实数 t 的取值范围。1, ()g解：（） ， 解
6、得 /2()3fxax/13fba32ab（）由（）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递减f,00,4又 (1)4,(0),(2)4()16f f 的值域是x16（）令 2()()()31,4thfxgxx思路 1：要使 恒成立，只需 ，即 分离变量0h2()6t思路 2：二次函数区间最值二、参数问题题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1：转化为 在给定区间上恒成立， 回归基础题型0)()( xff或解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的
7、单调减区间是（a,b） ”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例 4：已知 ，函数 Raxaxxf )14(21)(3（）如果函数 是偶函数，求 的极大值和极小值；fgf（）如果函数 是 上的单调函数，求 的取值范围)(xf),a解： . 14(41)(2 af（） 是偶函数， . 此时 ， ， xxxf312)(341)(2xf令 ，解得： . 0)(f 32列表如下： x(,2 ) 2 (2 ,2 )32 3(2 ,+)f+ 0 0 +(x递增 极大值 递减 极小值 递增可知： 的极大值为 ， 的极小值为 . )f 34)2(f ()fx34)2(f（）函数 是 上的单调函数，(xf,
8、 ，在给定区间 R 上恒成立判别式法21)(1)04fa则 解得： . 2(4a， 02a综上， 的取值范围是 . 0例 5、已知函数 321()()(1)0.fxaxa（I）求 的单调区间；（II）若 在0，1 上单调递增， 求 a 的取值范围。子集思想()fx（I） 21()1).ax1、 20,()0,fx当 时 恒 成 立当且仅当 时取“= ”号， 单调递增。 ()fx在2、 1212,(),afxax当 时 由 得 且单调增区间： ()()单调增区间： ,a-1-1()f（II）当 则 是上述增区间的子集：()0,1,fx在 上 单 调 递 增 0,11、 时， 单调递增 符合题意a
9、()f在2、 ， ,aa综上，a 的取值范围是0，1。 三、题型二：根的个数问题题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6、已知函数 ， ，且 在区间 上为增函数23)1()(xkxfkxg31)()(f),2(（1） 求实数 的取值范围；k（2） 若函数 与 的图象有三个不同的交点，求实数 的取值范围)
10、(fg解：（1）由题意 在区间 上为增函数，xkx)1(2 )(f),2( 在区间 上恒成立（分离变量法）0)()(2f ,即 恒成立，又 ， ，故 的取值范围为 xk2xk1k1k（2）设 ，3)(3)()( 2xgfh)1(12 xkxkx令 得 或 由（1）知 ，0)(h当 时， ， 在 R 上递增，显然不合题意k0)(2x)(xh当 时， ， 随 的变化情况如下表：1)hx),(kk)1,(k),1()0 0)(xh 极大值 31263k 极小值 21k由于 ，欲使 与 的图象有三个不同的交点，即方程 有三个不同的实根，021k)(xfg 0)(xh故需 ，即 ，解得3630)212k
11、k212k31k综上，所求 的取值范围为k3根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数 321()fxaxc（1）若 是 的极值点且 ()f的图像过原点，求 ()fx的极值；（2）若 2()gxbxd，在（1）的条件下，是否存在实数 b，使得函数 ()gx的图像与函数f的图像恒有含 的三个不同交点？若存在，求出实数 的取值范围；否则说明理由。高 1 考 1资 1 源 2 网解：（1） ()fx的图像过原点，则 ，(0)fc2()3fxa又 是 的极值点，则 13201a()()0fxx()2f、 2()37ff、（2）设函数 ()gx的图像与函数 ()fx的图像恒存在含 1x的三个不同交
12、点，等价于 有含 的三个根，即：f1()(1)2fgdb整理得：3221()xxb即： 恒有含 的三个不等实根()01x（计算难点来了：） 有含 的根，321()()0hxbb1x23-1 ()fx则 必可分解为 ，故用添项配凑法因式分解，()hx(1)0x、32x211()()0bxb22()221()(1)0xbxb十字相乘法分解： ()21()(1)02xbx恒有含 的三个不等实根3211()()0xbxb等价于 有两个不等于-1 的不等实根。22211()4()0bb(,1)(,3,)题 2：切线的条数问题=以切点 为未知数的方程的根的个数0x例 7、已知函数 在点 处取得极小值4，使
13、其导数 的 的取值范围32()fabc0x()0fx为 ，求：（ 1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的(,3)x(1,)Pmym取值范围（1）由题意得： 2()33(),(0)fabxcaxa在 上 ；在 上 ；在 上(,0x(1,)0f3(fx因此 在 处取得极小值)f 4 ， ， 4abc()32fabc()2760fabc由联立得： ， 169c32()69fxx（2）设切点 Q ，(,)tf,()()yftt2323169yxt222(319)(319)(69)txttt过6,m232()(mtt3)190g令 ，22(66()ttt求得： ，方程 有三个根。
14、,g需： (1)02g3129064m16故： ；因此所求实数 的范围为：6m(,)题 3：已知 在给定区间上的极值点个数 则有导函数=0 的根的个数()fx解法：根分布或判别式法例 8、解：函数的定义域为 （）当 m4 时，f (x) x3 x210x ，R13 72x 27x10，令 ， 解得 或 .()f ()0fx5,令 ， 解得05可知函数 f(x)的单调递增区间为 和（5，） ，单调递减区间为 (,2)2,5（） x 2( m3)xm 6, 要使函数 yf (x)在（1，）有两个极值点, x 2(m 3)fxm6=0 的根在（1， ）根分布问题：1则 ， 解得 m32(3)4(6)
15、0;1.mf例 9、已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）令231)(xaxf)0,(aR)(xf x4f（x） （xR）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围()g1解：（1） )1()(2 ax当 时，令 解得 ，令 解得 ，0a0)f 0x、0)(xf 01xa所以 的递增区间为 ，递减区间为 .)(xf ),(,(a,当 时，同理可得 的递增区间为 ，递减区间为 .)xf )1(a、 ),(),(（2） 有且仅有 3 个极值点4321)(gx=0 有 3 个根，则 或 ，23(1)axa 0x210ax2方程 有两个非零实根，所以210x 24,a或而当 或 时可证函数 有且仅
16、有 3 个极值点a()ygx其它例题：1、 （最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在 上的函数 在区间R32()fxaxb）（ 0a上的最大值是 5，最小值是11.2,（）求函数 的解析式；()fx（）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围.1,t 0(txf） x解：（） 32 2(),()34(34)fxabfa令 =0,得 1240,1因为 ，所以可得下表：x,0 0,1()f+ 0 -x 极大 因此 必为最大值, 因此 ， ，)0(f 50）（fb(2)165,(),(1)2faff即 ， ， 162aa.23x）（） ， 等价于 ， xxf43)(2 0(txf） 04t令 ，则问题
17、就是 在 上恒成立时，求实数 的取值范围，tg)g1,t x为此只需 ，即 ， 0)1(（ 052x解得 ，所以所求实数 的取值范围是0，1.0x2、 （根分布与线性规划例子）（1）已知函数 32()fxabc() 若函数 在 时有极值且在函数图象上的点 处的切线与直线 平行, 求1(0,1)30xy的解析式；xf() 当 在 取得极大值且在 取得极小值时, 设点 所在平面()(0,)(12)x(2,1)Mba区域为 S, 经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程.解： (). 由 , 函数 在 时有极值 ,2()fxaxb()f 0b ()1f1c又
18、在 处的切线与直线 平行,()fx0,1)30xy 故 3b12a . 7 分2()fxx() 解法一: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,b ()fx(0,1)(12)x 即 令 , 则 (0)12ff0248a()Mxybya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, aybx06xy易得 , , , , , (20)A(1)B(2,)C(0,1)D3(0,)2E2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 3DEABES四 边 形 所求一条直线 L 的方程为: 0x另一种情况设不垂直于 x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分, 设直线 L 方程为 ,它ykx与 AC
19、,BC 分别交于 F、G, 则 , k1四 边 形 DEGF由 得点 F 的横坐标为: 20ykx 2xk由 得点 G 的横坐标为: 46yx 641G 即 OEFDSS四 边 形 DEGF13221kk2650k解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: 12k58kyx综上,所求直线方程为: 或 .12 分0x12yx() 解法二: 由 及 在 取得极大值且在 取得极小值,2()fab()f(0,1)(12)x 即 令 , 则 0(1)2f48()Mxybya 故点 所在平面区域 S 为如图ABC, 12aybx2046xyM易得 , , , , , (0)A(1)B(2,)C(0,1)D3
20、(0,)2E2ABCS同时 DE 为ABC 的中位线, 所求一条直线 L 的方程为: 3DEABES四 边 形 0x另一种情况由于直线 BO 方程为: , 设直线 BO 与 AC 交于 H , 12yx由 得直线 L 与 AC 交点为: 120yx 1(,)2 , , ABCS12DECS 122HABOHSS 所求直线方程为: 或 0xyx3、 （根的个数问题）已知函数 的图象如图所示。32f()ab(c3ab)xd (a0)（）求 的值；d、（）若函数 的图象在点 处的切线方程为 ，f(x)(2,f)3xy10求函数 f ( x )的解析式；（）若 方程 有三个不同的根，求实数 a 的取值
21、范围。05,f()8a解：由题知： 2f()3xb+c-32（）由图可知 函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 ) ，且 = 01f得 32c0dabcd（）依题意 = 3 且 f ( 2 ) = 5f解得 a = 1 , b = 6 1486ab所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a 0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由 = 0 b = 9a f 5f若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当 满足 f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a
22、+ 38a7a + 3 a 3 1所以 当 a3 时，方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根。 12 分14、 （根的个数问题）已知函数 32()R（1）若函数 在 处取得极值，且 ，求 的值及 的单调区间；()fx12,x12xa()fx（2）若 ，讨论曲线 与 的交点个数a()f25()(16ga解：（1） 2()fxax212, 21 12()44xxx2 分0a22()f 令 得x1,x或令 得()0f 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 5 分x(,)(1,)(1,)（2）由题 得()fgx32256axxax即 32106a令 6 分11()()(2)xxx2a令 得
23、或 7 分()0x1x12a当 即 时x(,1)()x982aa此时， ， ，有一个交点；9 分9802a当 即 时，21x(2,)a2(2,1)a () 0x982a2(3)6aa,当 即 时,有一个交点；21(3)06a091当 即 时，有两个交点；98a， 且 96a当 时， ，有一个交点13 分028综上可知，当 或 时，有一个交点；1102当 时，有两个交点14 分96a5、 （简单切线问题）已知函数 图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为 ，函数23)(axf 510223()bxgxfa（） 若函数 在 处有极值，求 的解析式；)(g1)(xg（） 若函数 在区间 上为增函数，且 在区间 上都成立，求实数x,)(42xgmb1,的取值范围m
