1、绝密启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+ 选修 ）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第卷3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷注意事项：1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效3第 I 卷共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项符合题目要求参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24RS如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径P(AB)=P(A)P(B) 球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3V球n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径一、选择题（1）复数 i32（A） （B） （C） （D）ii132i132（2）记 ，那么k)80cos(10tan（A） （B）- （C） （D）-21k221k21k（3）若变量 满足约束条件 则 的最大值为yx,.02,1yxyxz（A）4 （B）3 （C）2
3、 （D）1（4）已知各项均为正数的等比数列 中， =na63498731,0,5aa则（A） （B）7 （C）6 （D）25 2（5） 的展开式中 x 的系数是53)1()2(x（A）-4 （B）-2 （C）2 （D）4（6）某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择题 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（A）30 种 （B）35 种 （C）42 种 （D）48 种（7）正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BB 1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为（A） （B） （C） （D）3233236（8）设 ，则215,ln,logcba（A） （B）
4、 （C） （D）abacabc（9）已知 F1、F 2 为双曲线 的左、右焦点，点 P 在 C 上， ，则:2yxC 6021FP 到 x 轴的距离为（A） （B） （C） （D）3263（10）已知函数 ，则 的取值范围是)(,0.|lg)( bfafbxf 且若 a2（A） （B） （C） （D）,2,3,3（11）已知圆 O 的半径为 1， PA、PB 为该圆的两条切线， A、B 为两切点，那么 的PBA最小值为（A） （B） （C） （D）423242（12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AC=CD=2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（A） （B） （C
5、） （D）334338绝密启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+ 选修 ）第卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3第卷共 10 小题，共 90 分。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效）（13）不等式 的解集是 。12x（14）已知 为第三象限的角， ，则 。a532cos
6、a)24tan(（15）直线 与曲线 有四个交点，则 的取值范围是 。yxy（16）已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 的延长线交 于点FCBBFC，且 ，则 的离心率为 。DB2三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 10 分） （注意：在试题卷上作答无效）已知 内角 A， B 及其对边 ， 满足 ，求内角 C。CabBbAacott（18） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则
7、不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的主审，则予以录用，否则不予录用。高稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3。各专家独立评审。（）求设到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率；（）记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数，求 X 的分布列及期望。（19） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥 SABCD 中， 底面SDABCD，AB/DC， ，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面1,ABCAEDC 平面 SBC。（）证明：SE=2EB ；（）求二面角 ADEC 的
8、大小。（20） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）已知函数 .1ln)(xxf（）若 ，求 的取值范围；2a（）证明： .0)(1xf（21） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线 的焦点为 F，过点 K（-1，0 ）的直线 与 C 相交于 A、B 两点，xyC4:2l点 A 关于 轴的对称点为 D。x（）证明：点 F 在直线 BD 上；（）设 ，求 的内切圆 M 的方程。98BK（22） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）已知数列 中，na.1,11nnac（）设 ，求数列 的通项公式；2,5nbcnb（）求使不等式 成立的
9、 的取值范围。31ac参考答案一、选择题（1）A （2）B （3）B （4）A （5）C （6）A（7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）B二、填空题（13） 0|x（14） 71（15） )45,(（16） 3三、解答题：（17）解：由 及正弦定理得BbAacott，sincsin从而 4cosinsi4Bb又 0故 ，BA4所以 .2C（18）解：（）记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用。则 CBAD（） ，其分布列为：)4.0,(X，1296.)
10、(P，345.0)(.14，0)2( 22CX，16.)(.334P期望 61E（19）解法一：（）连结 BD，取 DC 的中点 G，连结 BG，由此知 DG=GC=BG=1，即 为直角三角形， DBC故 BC又 平面 ABCD，故 BC SD，SD所以，BC 平面 BDS，BC DE。作 BK EC，K 为垂足，因平面 EDC 平面 SBC，故 BK 平面 EDC，BK DE。DE 与平面 SBC 内的两条相交直线 BK、BC 都垂直。DE 平面 SBC，DE EC，DE SB4 分所以 SE=2EB。（）由 ,2,1,52EBSADSA SA知 ，)3()1(22BE又 AD=1。故 为等
11、腰三角形，A取 ED 中点 F，连接 AF，则 AF DE，所以， 是二面角 ADEC 的平面角。G连结 AG， 36,22DF所以，二面角 ADEC 的大小为 120。解法二：以 D 为坐标原点 ，射线 DA 为 轴正半轴，x建立如图所示的直角坐标系 .yz设 ，则)0,1( )2,0(),(),1SB（） ,2CS设平面 SBC 的法向量为 )(cban由 得BCnS, 0,BCnS故 02bacb令 )1,(,.1,则又设 ，则(EBS设平面 CDE 的法向量 ),(zyxm则 ，得DC,故 02,11yzyx令 ),0(,2m则由平面 DEC 平面 SBC 得2,02, nm故 SE=
12、2EB。（）由（）知 ，)32,(E取 DE 中点 E，则 )31,(1FA故 ，由此得0DFA.D又 ，故 ，)32,4(C0EC由此得 ，E向量 与 的夹角等于二面角 ADEC 的平面角。于是 21|,cosFCA所以，二面角 ADEC 的大小为 120。（20）解：（） ,1lnl1)( xxxf 题设 等价于2a.a令 .1)(,ln)(xgxg则当 时， ；100当 时， ，x)(x的最大值点，)(1xg是.1)(gx综上， 的取值范围是a.,1（）由（）知， 即)(x.0lnx当 时，10x .0)1(l1l)( xf当 时；所以 .0)(f（21）解：设 ， 的方程为),(),(
13、),(121yxDByxAl ).0(1myx（）将 并整理得代 入m4从而 .,42121yy直线 BD 的方程为即 )(212xy令 ，得0y4所以点 F（1，0）在直线 BD 上。（）由知，因为 ),1(),(21yxByxA故 9842m解得 .3所以 的方程为l又由知 734)4(212 y故直线 BD 的斜率因而直线 BD 的方程为因为 KF 为 的平分线，故可设圆心 ， 及 BD 的BKD)1)(0,ttMt到)0,(距离分别为 .4|1|3,5|tt由 |1|3t（舍去） ，9,1tt或故圆 M 的半径 .325|1|tr所以圆 M 的方程为 94)(yx（22）解：（） ，nnnaa21251，41nnn即 .24b，)3(1nn又 12,11aba故所以 是首项为 ，公比为 4 的等比数列，)3(n3（） .2,1221 cac得由用数学归纳法证明：当 时， 1n（i）当 时， ，命题成立；1n12aca（i i）设当 时， ，则当 时，k1kkn故由（i） ， （ii）知当 时，2c1a当 时，令 ，2c4由 得caann1.n当 时，302c.3当 时， ，于是1n1,且，)(31)(1nnnaa当 时，log3因此 不符合要求。10c所以 的取值范围是 .310,2(
