1、1 / 24第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 4.1 柱面1、已知柱面的准线为： 0225)()3()1(zyxz且（1）母线平行于 轴；（2）母线平行于直线 ，试求这些柱面的方程。cyx,解：（1）从方程 0225)()3()1(zyxz中消去 ，得到：x )()()3( 22z即： 562yy此即为要求的柱面方程。（2）取准线上一点 ，过 且平行于直线 的直线方程为：),(00zxM0czyxztyzty00而 在准线上，所以00225)()3()1(tzyxzt上式中消去 后得到：t 06832yx此即为要求的柱面方程。2、设柱面的准线为 ，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程
2、。zxy2解：由题意知：母线平行于矢量 2,01任取准线上一点 ，过 的母线方程为：),(0zyxMtzytxtzt 22002 / 24而 在准线上，所以：0M)2(tztxy消去 ，得到：t 0142542zyx此即为所求的方程。3、求过三条平行直线 的圆柱面方程。21, zyxzyx与解：过原点且垂直于已知三直线的平面为 ：它与已知直线的交点为0，这三点所定的在平面 上的圆的圆心为)34,1(),0(,zyx，圆的方程为：5120M07598)13()5()12( 22zyxz此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点 ，且方向为 的直线方程为：),(11M,tzytxtzytx11将此式
3、代入准线方程，并消去 得到： 032)(522 yxzyxyx此即为所求的圆柱面的方程。4、已知柱面的准线为 ，母线的方向平行于矢量 ，)(,)(uu ZYXS,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： SvYx)(与 ZvuzyX)(式中的 为参数。vu,证明：对柱面上任一点 ，过 的母线与准线交于点 ，则，),(zyxM)(,)(uzyxM3 / 24SvM即 O亦即 ，vuY)(SvuY)(此即为柱面的矢量式参数方程。又若将上述方程用分量表达，即： ZYXvuzyxzy,)(,)(, vuz)(此即为柱面的坐标式参数方程。 4.2 锥面1、求顶点在原点，准线为 的锥面方程。01
4、,2zyzx解：设为锥面上任一点 ，过 与 的直线为：),(yMOzZyYxX设其与准线交于 ，即存在 ，使 ，将它们代入准),(00ZYXt ztytxt000,线方程，并消去参数 ，得：t )()(22zyzx即： 022zyx此为所要求的锥面方程。2、已知锥面的顶点为 ，准线为 ，试求它的方程。),13(0,122 zyxzyx解：设 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：),(zyxM213zZyYxX令它与准线交于 ，即存在 ，使),(00ZYt4 / 24tzZyYtxX)2(!130将它们代入准线方程，并消去 得：t 044675322 zyxyxzyx此为要求的锥面方程。4、
5、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解：（这里仅求、卦限内的圆锥面，其余类推）圆锥的轴 与 等角，故 的方向数为lkji,l1:与 垂直的平面之一令为zyx平面 在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点 ，1zyx )1,0(,)0,1(该圆的圆心为 ，故该圆的方程为：)3,(1)32()3()(22zyxz它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点 ，过 与顶点 的母线为：),(MOzZyYxX令它与准线的交点为 ，即存在 ，使 ，将它们代),(00ZYXt ztZytYxt000,入准线方程，并消去 得：t zyx此即为要求的圆锥面的方程。5、求顶点为 ，轴与平面 垂直，且经过点 的圆锥面的方程
6、。)4,21( 02)1,23(解：轴线的方程为： 14zyx过点 且垂直于轴的平面为：)1,23( 0)1(2()3(2zyx即： 01zyx5 / 24该平面与轴的交点为 ，它与 的距离为：)937,201()1,2(316)9722 d要求圆锥面的准线为： 012)()()9( 22zyxz对锥面上任一点 ，过该点与顶点的母线为：),(zM421zZyYxX令它与准线的交点为 ，即存在 ，使),(00ZYt,)1(0tx,)2(0tyYtzZ)4(0将它们代入准线方程，并消去 得：t 012951658251042512 zyxzyxzyx6、已知锥面的准线为 ，顶点 决定的径矢为 ，)
7、(,)(uuA0,zyx试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： 0()1v与 0()1xuvxyyzz式中， 为参数。vu,证明：对锥面上任一点 ，令 ，它与顶点 的连线交准线于),(yxMOA，即 。(),)xyz(u，且 （顶点不在准线上）/A0Av即 00()u亦即 1v6 / 24此为锥面的矢量式参数方程。若将矢量式参数方程用分量表示，即： 0,(),()1),xyzvuyzvxyz0)1(zvuzx此为锥面的坐标式参数方程， 为参数。vu, 4.3 旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：（1） ； 绕 旋转12xyz12xyz（2） ； 绕 旋转（3） 绕 轴旋转；13xyz
8、（4）空间曲线 绕 轴旋转。21xz解：（1）设 是母线 上任一点，过 的纬圆为：1(,)My12xyz1M111222()()0()zz又 在母线上。112xyz从（1）（3）消去 ，得到：1,xy2254480zxyzxyz此为所求的旋转面方程。（2）对母线上任一点 ，过 的纬圆为：11(,)My1222211()0()()xzzxy因 在母线上， (3)11y从（1）（3）消去 ，得到：1,xz7 / 24225314246230xyzxyzxyz此为所求的旋转面的方程。（3）对母线上任一点 ，过该点的纬圆为：11(,)M22211()2zxyxyz又 在母线上，所以： （3）113z从
9、（1）（3）消去 ，得到：1,xy229()10690z此为所求的旋转面方程。（4）对母线上任一点 ，过 的纬圆为：11(,)Mxyz1122211(2)zxy又 在母线上，所以121()2zxy从（1）（3）消去 ，得到：1,xyz2xy210zz即旋转面的方程为： 21xy(0)z2、将直线 绕 轴旋转，求这旋转面的方程，并就 可能的值讨论这是0z ,什么曲面？解：先求旋转面的方程式：任取母线上一点 ，过 的纬圆为：11(,)Mxyz1122211()2zxy又 （3）10z8 / 24p)(,)(uzyxMxyzO从（1）（3）消去 ，得到：1,xyz220xyz此即为所求旋转面的方程。
10、当 时，旋转面为圆柱面（以 轴为轴） ；0,z当 时，旋转面为圆锥面（以 轴为轴，顶点在原点） ；当 时，旋转面变为 轴；,z当 时，旋转面为单叶旋转双曲面。03、已知曲线 的参数方程为 ，将曲线 绕 轴旋转，求旋转(),(),xuyzuz曲面的参数方程。解：如图，设 为 上任一点，则对经过 的纬圆上任一点 ，(),()MuyzM(,)pxyz令 在 面上的射影为pxoyp令 ，则 ，(,)io而 22()xuy22()cs()sinopixuyj 而 zk2222()cos()si()xuyixyjzuk此即为旋转面的矢量式参数方程， 为参数。vu,其坐标式参数方程为： 22()csin(0
11、2)xyyuz4.4 椭球面1、做出平面 与椭球面 的交线的图形。20x22149xyz解：平面 与椭球面 的交线为：229 / 24zyxzxO ，即 椭2394yzx21734yz图形为2、设动点与点 的距离等于从这点到平面 的距离的一半，试求此动点的轨迹。(1,0) 4x解：设动点 ，要求的轨迹为 ，则(,)Mxyz22221,(1)4341xyzxxyz即：2243xyz此即为 的方程。3、由椭球面 的中心（即原点） ，沿某一定方向到曲面上的一点的距离为221xyzabc，设定方向的方向余弦分别为 ，试证：r ,221rabc证明：沿定方向 到曲面上一点，该点的坐标为,r该点在曲面上2
12、21rrabc即221r10 / 244、由椭球面 的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面221xyzabc，设 ，试证：123,p123,opropr222131rabc证明：利用上题结果，有22 (,)iiii irabc其中 是 的方向余弦。,iiiop若将 所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则 是坐标矢量关于(12,3)i 123,新坐标系的方向余弦，从而 ，同理， ，22131212213所以， 2222221313132213()()()rabcabc即： 222131rabc5、一直线分别交坐标面 于三点 ，当直线变动时，直线上的三定点,yozx,ABC也分别在三个坐标
13、面上变动，另外，直线上有第四点 ，它与三点的距离分别为,ABCp，当直线按照这样的规定（即保持 分别在三坐标面上）变动，试求 点的轨abc , p迹。解：设 ，则知：123(0,)(,0)(,0)AyzBxzCy213312,x211(,0)zyC又设 ，,px,pAaBbpCc11 / 242221122211()()(1)()()(3)xyzabyzczz又 在 的连线上， （4）pAB1112xyz从（1）（4）消去 ，得到2,z21xyzabc此为点的轨迹方程。6、已知椭球面 ，试求过 轴并与曲面的交线是圆的平面。221()xyzabcx解：设要求的平面为： 0它与椭球面的交线为：（*
14、） 2210xyzabc若（*）为圆，因（*）以原点为对称，故圆心在原点，所以圆的半径为 ，从而交线上的a点都在球面： 上22xyza即有： 22221()zbc亦即：22()0a21bc即：2()a22cb12 / 24zxyOzxyO2bac满足要求的平面方程为： 20bacyz 4.5 双曲面1、画出以下双曲面的图形： （1） ； （2）221694xyz211649xyz解：图形如下：2、给定方程2221(0)xyzABCABC试问当 取异于 的各种数值时，它表示怎样的曲面？,解：对方程 （*2221(0)xyz）1、当 时， （*）不表示任何实图形；A2、当 时， （*）表示双叶双曲
15、面；B3、当 时， （*）表示单叶双曲面；C4、当 时， （*）表示椭球面。3、已知单叶双曲面 ，试求平面的方程，使这平面平行于 面（或22149xyzyoz面）且与曲面的交线是一对相交直线。xoz解：设所求的平面为 ，则该平面与单叶双曲面的交线为：k13 / 24z（*） 22149xyzk亦即 22yzxk为使交线（*）为二相交直线，则须： ，即2104k2所以，要求的平面方程为： x同理，平行于 的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：xoy3y4、设动点与 的距离等于这点到平面 的距离的两倍，试求这动点的轨迹。(,0) 1x解：设动点 ，所求轨迹为 ，则Mxyz22
16、222(,)(4) (4)4(1)zyzxxyzx亦即：2214xyz此为 的轨迹方程。5、试求单叶双曲面 与平面 的交线对 平面的射影柱面。221645xyz230xzxoy解：题中所设的交线为： 22164530xyz从此方程中消去 ，得到：z216xyx此即为要求的射影柱面方程。6、设直线 与 为互不垂直的两条异面直线， 是 与 的公垂线的中点， 两点分lmClm,AB别在直线 ， 上滑动，且 ，试证直线 的轨迹是一个单叶双曲面。90ABAB证明：以 ， 的公垂线作为 轴， 作为坐标原点，再令 轴与 ， 的夹角均为 ，lzxl公垂线的长为 ，若设 ，则 ， 的方程分别为：2ctgl14
17、/ 24x ymlO),(1cyxA0:yxlzc:m令 ， ，则有：1(,)Axyc2(,)Bxyc0又 ，所以：C222221 11()()(xycxycxyc亦即 （2）20又设 为 上任一点，则(,)MxyzAB(3)czyx21212从（1）（3）中消去 ，得：, 22222)()( czyx即： (4)1122czycx不垂直 ，lm（4）表示单叶双曲面，即 的轨迹是一单叶双曲面。AB7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：与 ctguzvbyaxsineouczvbtgyaxseino解：对方程： ctzvyxsie消去参数 ，有：vu, 122czbax此即为单叶双曲
18、面；15 / 24又对方程： uczvbtgyaxseino消去参数 ，有：vu, 122zbax此即为双叶双曲面方程。 4.6 抛物面1、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为 面与 面，且过点 和 ，xozy)6,21()1,3(求这个椭圆抛物面的方程。解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为： zbyax22令确定 与ab和 均在该曲面上。)6,21()1,3(有：21942ba从而 56,322所以要求的椭圆抛物面的方程为： zyx25632即： zyx531822、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；（2）与两给定的异面直线等距离的点的
19、轨迹，已知两异面直线间的距离为 ，夹角为a2。解：（1）取定平面为 面，过定点且垂直于 面的直线作为 轴，则定点的坐标设为xoyxoyz，而定平面即为 ，设比值常数为 ，并令所求的轨迹为 ，则),0(a0zc点 czayxM22)(),(即 02)1(2 azcyx16 / 24此为的方程。（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取 轴，使其与二异面直线的夹x角相等，则二异面直线的方程为：与 azxtgy0aztgy0设所求的轨迹为 ，则2222 222110110),( tgtgyxaztgytgtgyxaztgyzyxM即： 22222222 )()()()()()( yxtg
20、aztyxtaztg 经同解化简得： cosin此即所要求的轨迹方程。3、画出下列方程所代表的图形：（1） ；（2） ；（3）1942zyxxyz2zyx4、画出下列各组曲面所围成的立体的图形：（1） 6,1,63,0yxzy（2） ;2y，xx三 坐 标 平 面（3） ,1,yz（4） 22x解：略。5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：与 21sincouzvbyaxuvzbyax2)(式中的 为参数。vu,17 / 24解：对方程 21sincouzvbyax消去参数 得：vu,zbyax22这正是椭圆抛物面的方程。对方程 uvzbyax2)(消去参数 得：vu,byax
21、2这正是双曲抛物面的方程。 4.7 单叶双曲面与双叶双曲面的直母线1、 求下列直纹面的直母线族方程：（1） （2）022zyx axyz解：（1）从原方程得： 2yzx即： yzx)(亦即： ytzxty)(为了避免取极限，将上方程写成：（1）sytzxs)(若将原方程变形为： ，则可得到： 22xzuxzyv)(（2）若令 ， ，则（2）便是（1）)(21stu)(stv18 / 24原曲面的直母线族是（1） ，其中 不全为零。ts,（2）原方程变形为： ayxz亦即： tayxz（1）tyz由 ax得： （2）syz（1） （2）即这原曲面的两组直母线族方程。2、 求下列直线族所成的曲面（
22、式中的 为参数）（1） ； （2）01zyx 4zyx解：（1）原方程等价于 zyx2从此式中消去 ，得：2此即为直母线（1）所形成的曲面。（2）从原方程中消去 得： 141622zyx此即为（2）的直母线族所形成的曲面。3、在双曲抛物面 上，求平行于平面 的直母线。zyx2 0423zyx解：双曲抛物面 的两族直母线为：4162及 zyxu)24( zyxv)24(第一族直母线的方向矢量为： ,1u第二族直母线的方向矢量为： v19 / 24据题意，要求的直母线应满足： 204231vvu要求的直母线方程为：及 zyx24124zyx4、试证单叶双曲面 的任意一条直母线在 面上的射影，一定是
23、其腰122cbao圆的切线。证明：单叶双曲面的腰圆为 02zyx两直母线为： )1(byvczax它在 面内的射影为 ： （xoy0)(2zv2）将（2）的第一式代入（1）的第一式得： 4)1(2byvbyv即： 0)1(2)( 22byvb上述方程的判别式为： 0)1(4)(42222 vvbv（2）与（1）相比，证毕。5、求与两直线 与 相交，而且与平面136zyx83zyx平行的直线的轨迹。0yx解：设动直线与二已知直线分别交于 ，则),(),(10zyxzx20 / 24，123600zyx 214831zyx又动直线与平面 平行，所以，52 0)()(010y对动直线上任一点 ，有：
24、),(zyxM010101zyx从（1）（4）消去 ，得到：10,z4926、求与下列三条直线， 与zyxz152432zyx都共面的直线所构成的曲面。解：动直线不可能同时平行于直线 及直线zyx1zyx1不妨设其与第一条直线交于 ),(p注 与第二条直线的平面为：),1(p 0)(1zyx过 与直线 的平面为524132zyx 0)()13 zyx动直线的方程为： 0)()13)()(0zyxzy从上式中消去参数 ，得： 22x此为所要求的轨迹方程。7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。证明
25、：单叶双曲面 的一族直母线为：122czbyax)1()(byuczaxv过该族中一条直母线的平面为： 0)1()()1()( byuczaxvtbyvczaxus21 / 24即： （1）0)1()()1()( bytuczaxtvbysczaxsu另一族直母线为： )1()(bymczaxn过该族中一条直母线的平面为： 0)1()()1( bymczaxnlbyczaxk即 （20)()1()( lnlbykczaxkm）对照（1） 、 （2）得，只要令 ，得（2）便是（1）了vltuksm,亦即过 族每一直母线的任一平面都经过 族中的一条直母线，u同理，对 族的直母线也有类似性质。v对双
26、曲抛物面： zbyax22其族直母线为：（*）zbyaxu)(取其中的一条（即取定 ） ，显然平面 通过直母线（*） ，但该平面不通过 族u2v直母线中的任何一条，这是因为：族直母线vzvbyaxw)(的方向矢量为 2,1abv而 00ba平面 不能通过 族中的任何直母线。uyx2v8、试求单叶双曲面 上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。122czbyax解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条 母线和一条 母线，uv22 / 24所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：)1()(bywczaxu)1()(bytczaxvt将两方程化为标准式，得： )(2)(2wuczwu
27、)()( 22 tvabtytvax由此求出二直线的交点坐标为： utwczutyutwx ,又二直线垂直， 0)(4)( 222222 tvvtbtva222 2 2222 222 2222)()( ( 4)()()( )()()utvwvwtcbauuvwtbtcbatbt ttvcatwvuuwuvtcbatvctbtatuazyx22即 2cbazyx又交点在单叶双曲面上，所以： 122czbyax23 / 24故交点的轨迹为 cbazyxcba22219、试证明双曲抛物面 上的一两条直母线直交时，其交点必在一双曲)(2线上。证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条 族直母线，也仅有一条
28、族直母线，所以同族uv的直母线不能相交。设两相交的直母线为：其方向矢量为02abzuyx 2,uba与 其方向矢量为 ,v由二直线直交，所以： （)(410422 abuvvba*）二直母线的交点坐标为：uvzbyax2)(但由（*）式有： （* *222abzyx）（* *）为一双曲线方程， 交点在一双曲线上。10、已知空间两异面直线间的距离为 ，夹角为 ，过这两条直线分别作平面，并使这a2两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为 轴，公垂线的中点为原点 ，让 轴与二zOx异面直线夹角相等，则二直线方程为：与 azxtgy0azxtgy0过这两直线的平面为： )()(:1xtyuz02 gmal24 / 24二平面的交线为： （10)()(xtgymazlu）21（0)(2tguml2）当二异面直线不直交时， ，从（1） （2）中消去 ，得：t mlu,单叶双曲面)()1( 222 aztgayctgax此为要求的轨迹方程。当二异面直线直交时，则 ，此时， （1） （2）变为：t0)()(xymazlu )1(0 2当 时， 为0)1(0)()xyazlxy它的轨迹为平面 。0当 时， 为0l)1()()(xyxyuz它的轨迹为平面 0从而当二异面直交时，动直线（1）的轨迹为二平面：与 xy 0xy
