1、2017 届高三暑假自主学习测试试卷数 学 2016.9参考公式：样本数据 x1，x 2，x n 的方差 ，其中 221()nisx1nix一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1设集合 ， ，则 ,0M02NNM2命题“ ，使得 ”的否定是 1x2x3已知 是虚数单位，复数 z 的共轭复数为 ，若 2z = 2 3 ，则 z i i4现有 4 名学生 A，B，C，D 平均分乘两辆车，则“A，B 两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为 5曲线 在 处的切线方程是 xey06. 如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是 第 6 题图7
2、. 定义在 R 上的奇函数 ，当 时， ，则 fx02xf(0)1f8. 已知等差数列 的公差为 d，若 的方差为 8, 则 d 的值为 na12345,a9. 如图，在长方体 中， ， ，则三棱锥1ABCD3ABDcm12Ac的体积为 1ABD3cm第 9 题图10. 已知 ， ， ， ，则 = (0,)2(,)1cos353)in(cos11已知函数 若关于 的方程 有两个不同的实数根，则实31,()xfx()1)fkx数 的取值范围是 k12圆心在抛物线 上，并且和该抛物线的准线及 轴都相切的圆的标准方程为 21yxy 13已知点 是 内一点（不包括边界），且 , R，则PABCACnB
3、mP的取值范围是 22()()mn14已知 ，当 取最小值时，实数 的值是 ,0ab1|aba二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c已知 cos2cosbCBaA（1）求 A 的大小；（2）若 ，求ABC 的面积=316（本题满分 14 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 底面 ，且PABCDABPADBC，若 、 分别为 、 的中点.2AEFP（1）求证： 平面 ；（2）求证： 平面 .E17（本小题满分 14 分）如图，在平
4、面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为xOy1:2byaxC)0(，点 在椭圆上， 的面积为 。21,FP)1,3(21FP（1） 求椭圆 的标准方程；C 若 ，求 的值. 12FQ321（2）直线 与椭圆 相交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数kxy的值.k第 17 题图18（本小题满分 16 分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场， 米，广场的一角是半径为 米的扇形20AB16绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，BCE其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅 （宽度不计），点 在线段 上，并且与曲线MNMAD相切；另一排为
5、单人弧形椅沿曲线 （宽度不计）摆放已知双人靠背直排椅的造价每米为C元，单人弧形椅的造价每米为 元，记锐角 ，总造价为 元2aaEW（1）试将 表示为 的函数 ，并写出 的取值范围；W()cos（2）如何选取点 的位置，能使总造价 最小W第 18 题图19（本小题满分 16 分）在数列 中，已知 ， na12a1=32na（1）求证：数列 为等比数列；+（2）记 ，且数列 的前 项和为 ,若 为数列 中的最小项，求()nbnbnT3nT的取值范围20（本小题满分 16 分）已知函数 2()ln,()fxgxa（1）求函数 在区间 上的最小值 ；10tt()mt（2）令 是函数 图象上任意两点，2
6、()(),(),hxgfxAhBx12x()hx且满足 求实数 的取值范围；12,a（3）若 ，使 成立，求实数 的最大值(0,1x()()agxfa2017 届高三暑假自主学习测试试卷数 学 2016. 9附加题注意事项：1本试卷共 2 页，满分 40 分，考试时间 30 分钟2请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效3答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置21【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图， 是圆 的内接三角形
7、， 是圆 的切线， 为切点， 交 于点 ，交圆OPAOAPBACE于点 ，若 ， ，且 ，求 DPEA60BC19DB， EB选修 42：矩阵与变换 （第 21-A 题）已知 为矩阵 属于 的一个特征向量，求实数 ， 的值及 2114aAa2AC选修 44：坐标系与参数方程自极点 O 任意作一条射线与直线 相交于点 M，在射线 OM 上取点 P，使得cos3，求动点 P 的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程12MPD选修 45：不等式选讲已知： R求证： 2ax ， |1|xax 3【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
8、明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球和 2 个黑球，乙箱子里装有 1个白球和 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中摸出 3 个白球的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为 ，求 的数学期望X23（本小题满分 10 分）已知抛物线 C 的方程为 ，点 在抛物线 C 上2(0)ypx(1,2)R（1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 Q（1,1）作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A，B若
9、直线 AR,BR 分别交直线于 :lyxM,N 两点，求线段 MN 最小时直线 AB 的方程xyAOMNRBQ2017 届高三暑假自主学习测试试卷数学参考答案及评分标准 2016.9一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 2. ，使得 3. 4. 5. 0,11x2xi311xy630 7. 8. 2 9. 3 10. 526411. 12. 13. 14. 1(0,)21)()1(2yx）（ 8,29二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 解：（1）法一：在ABC 中，由正弦定理，及 ，cos2cosbCBaA
10、得 ， 3 分sincosi2inBCBA即 ，2A因为 ，所以 ，所以 ，6 分(0)，si01cos2所以 . 8 分 3解法二：在ABC 中，由余弦定理，及 ，coscosbCBaA得 ，3 分22222abcaac所以 ， 22abc所以 ， 6 分21osaA因为 ，所以 .8 分(0)，3（2）由 ，得 ，11 分=cosBCb23bc所以ABC 的面积为 . 14 分1insin6022SA16证明：（1）连结 AC，因为正方形 ABCD 中 F 是 BD 的中点，则 是 的中点，又 E 是 PC 的FAC中点，在 中，EFPA3 分PA且 PA 平面 PAD，EF 平面 PAD
11、，EF平面 PAD6 分（2）因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，CD 平面 ABCD，又 CDAD，所以CD平面 PAD， 8 分又 PA 平面 PAD，CDPA ，因为 EF/PA， CDEF10 分又 PA=PD= AD，所以PAD 是等腰直角三角形，且 ，即 PAPD2 2APD又 EF/PA， PDEF 13 分而 CDPD=D， PA平面 PDC，又 EFPA，所以 EF平面 PDC14 分17解：（1） 由条件，可设椭圆的标准方程为 ，12byax可知 ， 2 分192ba2c又 ，所以 ，4,22所以椭圆的标准方程为 4 分12yx 当 时，有 6
12、 分332)(,42121 cQFFa所以 8 分621QGFEA BDCNM（2）设 ，由 ，得 10 分),(),(21yxBAkxy142 012362kx， 12 分4,3, 212121 yk因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，则 ，06212kyxOBA解得 ，此时 ，满足条件6k012因此 14 分18 解：（1）过 作 的垂线，垂足为 ；过 作 的垂线，垂足为 NABFN在 中， ，则RTBF16cos2016cosMG在 中， ，4 分MG20in由题意易得6 分()C因此， 7 分16cos()2(),i2Waa9 分54,0cos（2） 2245cs(cos1)()()
13、168=8inin，令 ， ，因为 ，所以 ，12 分=， cos1,)3设锐角 满足 ， 115），（ 30当 时， ， 单调递减；(,)3()，所以当 ，总造价 最小，最小值为 ，此时 ， ， 8(163)a83MN43G，因此当 米时，能使总造价最小16 分83NF43AM19解（1） , 1=2na)(1nna又 ， ,故 ，1 0,n 31an是以 为首项，公比为 的等比数列 4 分na33（2）由（1）知道 ， . 6 分+3nanb. 8 分12 3(1)3(12)()22nnT LL若 为数列 中的最小项，则对 有 恒成立3n *N396n即 对 恒成立 10 分128(1)n
14、*n当 时，有 ；365T当 时,有 ； 12 分229当 时， 恒成立,34n1(4)30nn对 恒成立.128令 ，则 对 恒成123()nf 0)12)(03(62)1( 21 nnfnf 4n立,在 时为单调递增数列.128()nf4，即 . 15 分4f综上， . 16 分81920解（1） ，令 ，则 ，()fx()0fx1当 时， 在 上单调递增，t,1t的最小值为 ； 1 分()fx()lnft当 时， 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数，01tx, 1,t的最小值为 . ()fx()1f综上，当 时， ；当 时， . 3 分tmt1t()lnmtt（2） ,对于任意的 ，
15、不妨取 ，则2()()lnhxax2,0,x12x,10则由 可得 ， 12(),hx1212()hxx变形得 恒成立， 5 分12令 ，()()lnFxhxax则 在 上单调递增， 2()l0,故 在 恒成立， 7 分1()xx ()在 恒成立.122)a(,)，当且仅当 时取 ，x2x“. 10 分2a（3） ，()()gxf.21lnx， ， 使得 成立.(0,(1,(0,1x2ln1xa令 ，则 ， 12 分2ln()xt223l()()t令 ，则由 可得 或 （舍）23l1y 140xy14x当 时 ，则 在 上单调递减；(0,)4xy23ln(,)当 时 ，则 在 上单调递增.10
16、1yxln8y在 上恒成立.()tx(,1在 上单调递增.0,，即 . 15 分()at实数 的最大值为 . 16 分1附加题21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分A选修 41：几何证明选讲解：弦切角 又 ，60PE， PAE所以 为等边三角形，由切割线定理有 ， 5 分 29PDB所以 ， ， ，3AD6E由相交弦定理有： ， 10 分1ECAB 34CB选修 42：矩阵与变换 解：由条件可知 ， 12a ，解得 5 分24因此 ，所以 10 分1A21210454AC选修 44：坐标系与参数方程解：设 ，M ，(,)P(,) ， 12O1
17、2 ， cos3cos3则动点 P 的极坐标方程为 5 分4极点在此曲线上，方程两边可同时乘 ，得 24cos 10 分0xyD选修 45：不等式选讲解：证明：因为|m|+|n| |m n|，所以 6 分|1|1()21|xaxaxa |=又 2，故 3|所以 10 分|1|xax【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 22. 解：（1）记“在一次游戏中摸出 3 个白球”为事件 A 3 分2135()CPA故在一次游戏中摸出 3 个白球的概率 4 分15（2） 的所有可能取值为 0，1，2X139732749(0),(),()1010PPXCPX的分布列为0 1 2P9125049108 分故 的数学期望 10 分X92497()015015EX（或： ， ，同样给分）7,2B()23解：（1）将 代入抛物线中，可得 ，所以抛物线方程为 3 分(1,R2p24yx（2）设 所在直线方程为 ，A(1)(0)xmy12(,)(,)AxB与抛物线联立得：241yxm，所以 5 分2()012124,()ymy设 ： ，AR1ykx由 得 ，而()212Mk11214yxy可得 ，同理1Mxy2Nxy所以 8 分1|5|5|m令 ，则1(0)mt1t所以 213|5|5()154MNxt此时 ， 所在直线方程为： 10 分1mAB0xy
