1、1三角函数部分定理1.正弦定理： （其中 为三角形外接圆半径）R2余弦定理：a 2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c 2=a2+b2-2abcosC3. 三角形面积公式三角函数形式：几何部分定理1.广勾股定理：在任一三角形中，(1)锐角对边的平方，等于两夹边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍证明：设ABC 中，BC 是锐角 A 的对边作 CHAB 于 H，根据勾股定理：BC2 = BH2 + CH而 BH = AB-AH , CH2 = AC2 - AH
2、2带入后有：BC2 = (AB-AH)2 + AC2 - AH2简化后：BC2 = AB2 +AC2 -2ABAH 钝角时的证明如下，与上面有点类似：BC2 = BH2 + CH2而 BH=AB+AH,CH2 = AC2 - AH2同理：BC2 = (AB+AH)2 + AC2 - AH2简化后：BC2 = AB2 +AC2 +2ABAH2中线定理：设ABC 的边 BC 的中点为，则有中线长： 2acbma3.角平分线定理（1）定理 1 角平分线上的点到这个角两边的距离相等。逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（2）定理 2 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条
3、线段与这个角的两边对应成比例。AB:AC=BD:CD（3）角平分线长公式：第一形式 在ABC 中，A 的角平分线记为 ，B 的角平分线记为 ，C 的角平分线记为 ，三边边长为 a、b 、 c，则其中 p 是半周长。第二形式三角形 ABC 的角平分线为 AD，D 在 CB 上。则第三形式ABC 中，角平分线4. 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D，则有 AB2DC+AC2BDAD 2BCBCDC BD5. 张角定理： 用三角形面积公式正弦形式可证ACBADsinsi sin6.托勒密定理定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和 ACBD=
4、ABCD+ADBCCcBbAasinsi2证明 在 AC 上取点 E，使ADE=BDC，由DAE= DBC，得AED BCD AEBC=ADBD，即 AEBD=ADBC 又ADB= EDC，ABD=ECD ，得ABDECD ABED=BDCD，即 ECBD=ABCD + ，得 ACBD=ABCD+ADBC7弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角8圆幂定理是指相交弦定理、切割线定理及割线定理相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等.切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点
5、的两条线段长的积相等.9. 塞瓦定理利用面积关系证明BD/DC=SABD/S ACD=SBOD/SCOD=(SABD-SBOD)/(SACD-SCOD)=SAOB/SAOC 同理 CE/EA=S BOC/ SAOB ，AF/FB=SAOC/S BOC 得证。10. 在 RtABC 中，ABC=90，BD 是斜边 AC 上的高，则有射影定理如下：BD=ADCD AB=ACAD BC=CDAC11. 海伦公式公式中 a，b ，c 分别为三角形三边长， p 为半周长，S 为三角形的面积。12.两点间斜率公式13.两点间距离公式14.中点坐标公式15.点到直线距离公式16. 立方公式例题 1：如图， ABC 内接于O ，B=60，CD 是O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且AP=AC（1）求证：PA 是O 的切线；（2）若 AB=4+ ，BC=2 ，求O 的半径可以试用多种解法例题 2： 如图O 的半径为 1，弦 AB=1，点 P 为优弧 AB 上一动点，AC AP 交直线 PB 于点 C，则ABC 的最大面积是_。A BCDE
